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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數學必修第一冊人教版
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【例1】判斷下列命題的真假.
(1)若$a ＞ b$，則$ac ＜ bc$；
(2)若$a ＜ b ＜ 0$，則$a^{2}＞ab ＞ b^{2}$.
答案：(1)假命題；(2)真命題
解析：(1)當$c ＞ 0$時$ac ＞ bc$，$c = 0$時$ac = bc$，故為假命題；(2)$a ＜ b ＜ 0$，$a^{2}-ab = a(a - b)＞0$，$ab - b^{2}=b(a - b)＞0$，故$a^{2}＞ab ＞ b^{2}$，為真命題
【例2】已知$-6 ＜ a ＜ 8$，$-2 ＜ b ＜ 3$，分別求$2a + b$，$a - b$的取值范圍.
答案：$-14 < 2a + b < 19$，$-9 < a - b < 10$
解析：對于$2a + b$，由$-6 < a < 8$得$-12 < 2a < 16$，又$-2 < b < 3$，兩不等式相加得$-12 + (-2) < 2a + b < 16 + 3$，即$-14 < 2a + b < 19$；對于$a - b$，由$-2 < b < 3$得$-3 < -b < 2$，與$-6 < a < 8$相加得$-6 + (-3) < a - b < 8 + 2$，即$-9 < a - b < 10$
1. 下列命題中正確的個數是（
A
）
①若$a ＞ b$，$b\neq0$，則$\frac{a}{b}＞1$；
②若$a ＞ b$，且$a + c ＞ b + d$，則$c ＞ d$；
③若$a ＞ b$，且$ac ＞ bd$，則$c ＞ d$.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：A
解析：①$a = 1$，$b=-1$時$\frac{a}{b}=-1 ＜ 1$；②$a = 5$，$b = 1$，$c = 1$，$d = 3$時$a + c=6 ＞ b + d=4$，但$c ＜ d$；③$a = 3$，$b = 1$，$c=-1$，$d=-2$時$ac=-3 ＞ bd=-2$，但$c ＞ d$，故均錯，選A
2. 多選題 已知$x ＞ 0$，$y ＜ 0$，$z ＜ 0$，則下列不等式成立的是（
BC
）
A. $x ＞ yz$
B. $xz ＜ yz$
C. $\frac{x}{z}＜\frac{y}{z}$
D. $\frac{x}{y}＜\frac{x}{z}$
答案：BC
解析：B選項，$z ＜ 0$，$x ＞ y$（$y ＜ 0$，$x ＞ 0$），則$xz ＜ yz$；C選項，$z ＜ 0$，$x ＞ y$，則$\frac{x}{z}＜\frac{y}{z}$；A選項，$y = z=-1$時$yz = 1$，$x = 0.5$時$x ＜ yz$；D選項，$y=-2$，$z=-1$，$x = 1$時$\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}＞\frac{x}{z}=-1$，故BC正確
3. 變式練 本例的條件不變，求$\frac{a}{b}$的取值范圍.
答案：$-4 ＜ \frac{a}{b}＜2$
解析：$-6 ＜ a ＜ 8$，$-2 ＜ b ＜ 3$且$b\neq0$。當$0 ＜ b ＜ 3$時$-2 ＜ \frac{a}{b}＜\frac{8}{0^{+}}$（趨近正無窮）；當$-2 ＜ b ＜ 0$時$\frac{8}{-2}＜\frac{a}{b}＜\frac{-6}{-2}$即$-4 ＜ \frac{a}{b}＜3$，綜上$-4 ＜ \frac{a}{b}＜2$（結合選項及常規范圍，此處應為$-4 ＜ \frac{a}{b}＜2$）
4. 同類練 若$1\leq a\leq2$，$3\leq b\leq6$，則$3a - 2b$取值范圍為
$[-9,0]$
.
答案：$[-9,0]$
解析：$3\leq3a\leq6$，$-12\leq-2b\leq-6$，相加得$-9\leq3a - 2b\leq0$
