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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數學必修第一冊人教版
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【例2】已知命題“對于任意$x\in\mathbf{R},f(x)=x^{2}+ax + 1$的值都不小于0”是假命題，求實數$ a $的取值范圍.
答案：$a ＜ - 2$或$a＞2$
解析：原命題是全稱量詞命題，其為假命題，則其否定“存在$x\in\mathbf{R},f(x)=x^{2}+ax + 1 ＜ 0$”是真命題。所以二次函數$f(x)=x^{2}+ax + 1$的圖像與$x$軸有兩個交點，判別式$\Delta=a^{2}-4＞0$，解得$a ＜ - 2$或$a＞2$。
【過程評價】2.變式練 若將本例中的“假命題”改為“真命題”，則實數$ a $的取值范圍是
$-2\leq a\leq2$
.
答案：$-2\leq a\leq2$
解析：原命題為真命題，則二次函數$f(x)=x^{2}+ax + 1$的圖像與$x$軸有兩個交點或相切，判別式$\Delta=a^{2}-4\leq0$，解得$-2\leq a\leq2$。
【過程評價】3.同類練 若命題“對于$x＞0,f(x)=x^{2}+ax + 1$的值都不小于0”是假命題，則實數$ a $的取值范圍是
$a ＜ - 2$
.
答案：$a ＜ - 2$
解析：原命題的否定“存在$x＞0,f(x)=x^{2}+ax + 1 ＜ 0$”是真命題。二次函數$f(x)=x^{2}+ax + 1$開口向上，對稱軸為$x=-\frac{a}{2}$。當$-\frac{a}{2}\leq0$即$a\geq0$時，$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調遞增，$f(0)=1＞0$，無$x＞0$使$f(x)＜0$；當$-\frac{a}{2}＞0$即$a ＜ 0$時，需$f(-\frac{a}{2})=\frac{a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{2}+1=1-\frac{a^{2}}{4}＜0$，解得$a ＜ - 2$（$a＞2$舍去），所以$a ＜ - 2$。
【過程評價】4.拔高練 若命題“對任意實數$ m $，關于$ x $的方程$x^{2}+x + m = 0$必有實數根”為假命題，則實數$ m $的取值范圍是
$m＞\frac{1}{4}$
.
答案：$m＞\frac{1}{4}$
解析：原命題的否定“存在實數$m$，關于$x$的方程$x^{2}+x + m = 0$沒有實數根”是真命題。方程無實數根，則判別式$\Delta=1 - 4m ＜ 0$，解得$m＞\frac{1}{4}$。
【基礎鞏固】1.命題“每一個三角形的三個頂點共圓”的否定是（
A
）
A.存在一個三角形，它的三個頂點不共圓
B.存在一個三角形，它的三個頂點共圓
C.所有三角形的三個頂點共圓
D.所有三角形的三個頂點都不共圓
答案：A
解析：全稱量詞命題“每一個三角形的三個頂點共圓”的否定是存在量詞命題“存在一個三角形，它的三個頂點不共圓”。
【基礎鞏固】2.命題“$\forall x\in\mathbf{R},ax + b\leq0$”的否定是（
B
）
A.$\exists x\in\mathbf{R},ax + b\leq0$
B.$\exists x\in\mathbf{R},ax + b＞0$
C.$\forall x\in\mathbf{R},ax + b＞0$
D.$\forall x\in\mathbf{R},ax + b\geq0$
答案：B
解析：全稱量詞命題“$\forall x\in\mathbf{R},ax + b\leq0$”的否定是存在量詞命題“$\exists x\in\mathbf{R},ax + b＞0$”。
