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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數學必修第一冊人教版
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【例1】(1)下列語句不是存在量詞命題的是（
A
）
A.所有無理數的平方都是有理數
B.有的無理數的平方不是有理數
C.存在$ n\in\mathbf{N},2n - 1 $是奇數
D.存在$ n\in\mathbf{N},2n + 1 $是偶數
答案：A
解析：存在量詞命題是含有存在量詞的命題，選項B、C、D中分別有“有的”“存在”“存在”，均為存在量詞命題；選項A中“所有”是全稱量詞，為全稱量詞命題，不是存在量詞命題。
【例1】(2)將下列命題用“$\forall$”或“$\exists$”表示.
①實數的平方是非負數；
②關于$ x $的方程$ ax^{2}+2x + 1 = 0(a ＜ 1) $至少存在一個負根.
答案：①$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}\geq0$
②$\exists x ＜ 0$，使得$ ax^{2}+2x + 1 = 0(a ＜ 1) $
【過程評價】1.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
(1)梯形的對角線相等；
(2)存在一個四邊形有外接圓；
(3)二次函數都與$ x $軸相交；
(4)如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，那么它也與另一條相交.
答案：(1)全稱量詞命題
(2)存在量詞命題
(3)全稱量詞命題
(4)全稱量詞命題
【例2】判斷下列命題的真假.
(1)$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}-x + 1＞\frac{1}{2}$；
(2)$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}+1 ＜ 2x$；
(3)每一條線段的長度都能用正有理數表示；
(4)存在一個實數$ x $，使等式$ x^{2}+x + 8 = 0 $成立.
答案：(1)真命題
解析：$x^{2}-x + 1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}$，所以對$\forall x\in\mathbf{R}$，該不等式恒成立。
(2)假命題
解析：$x^{2}+1 - 2x=(x - 1)^{2}\geq0$，即$x^{2}+1\geq2x$恒成立，不存在$x\in\mathbf{R}$使$x^{2}+1 ＜ 2x$。
(3)假命題
解析：例如邊長為1的正方形的對角線長為$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$不是正有理數，所以不是每一條線段的長度都能用正有理數表示。
(4)假命題
解析：方程$x^{2}+x + 8 = 0$的判別式$\Delta=1 - 32=-31 ＜ 0$，無實數根，所以不存在實數$x$使等式成立。
【過程評價】2.變式練 將本例第(1)小題改為“$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}-x + 1\leq\frac{1}{2}$”，對其判斷真假.
答案：假命題
解析：由(1)知$x^{2}-x + 1\geq\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}$恒成立，所以不存在$x\in\mathbf{R}$使$x^{2}-x + 1\leq\frac{1}{2}$。
【過程評價】3.同類練 下列四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是（
B
）
A.銳角三角形的內角是銳角或鈍角
B.至少有一個實數$ x $，使$ x^{2}\leq0$
C.兩個無理數的和必是無理數
D.存在一個負數$ x $，使$\frac{1}{x}＞2$
答案：B
解析：選項A是全稱量詞命題；選項B是存在量詞命題，當$x = 0$時，$x^{2}=0$，所以是真命題；選項C是全稱量詞命題，例如$\sqrt{2}+(-\sqrt{2}) = 0$是有理數，所以是假命題；選項D是存在量詞命題，負數$x$的倒數是負數，不可能大于2，所以是假命題。
