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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊人教版

2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊人教版

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4.同類型 已知$a\in R$,$p = a^{2}-a + 1$,$q=\frac{1}{a^{2}+a + 1}$,試比較$p$與$q$的大小。

答案:解:$p - q = a^{2}-a + 1-\frac{1}{a^{2}+a + 1}$$=\frac{(a^{2}-a + 1)(a^{2}+a + 1)-1}{a^{2}+a + 1}$根據(jù)平方差公式$(m - n)(m + n)=m^{2}-n^{2}$,這里$m=a^{2}+1$,$n = a$則$(a^{2}-a + 1)(a^{2}+a + 1)=(a^{2}+1)^{2}-a^{2}$$=a^{4}+2a^{2}+1 - a^{2}=a^{4}+a^{2}+1$所以$p - q=\frac{a^{4}+a^{2}+1 - 1}{a^{2}+a + 1}=\frac{a^{4}+a^{2}}{a^{2}+a + 1}$因為$a^{2}+a + 1=(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\gt0$恒成立,$a^{4}+a^{2}=a^{2}(a^{2}+1)\geqslant0$恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)$a = 0$時取等號)所以$p - q\geqslant0$,即$p\geqslant q$(當(dāng)且僅當(dāng)$a = 0$時取等號)。
5. 拔高題
已知實數(shù)$x$,$y$,$z$滿足$y + z = 3x^{2}-4x + 6$,$y - z = x^{2}-4x + 4$。試確定$x$,$y$,$z$的大小關(guān)系。

答案:
1. 首先,聯(lián)立方程組:
已知$\begin{cases}y + z=3x^{2}-4x + 6\\y - z=x^{2}-4x + 4\end{cases}$。
(1)用第一個方程$y + z=3x^{2}-4x + 6$加上第二個方程$y - z=x^{2}-4x + 4$來求$y$:
$(y + z)+(y - z)=(3x^{2}-4x + 6)+(x^{2}-4x + 4)$。
化簡得$2y = 4x^{2}-8x + 10$,則$y = 2x^{2}-4x + 5$。
(2)用第一個方程$y + z=3x^{2}-4x + 6$減去第二個方程$y - z=x^{2}-4x + 4$來求$z$:
$(y + z)-(y - z)=(3x^{2}-4x + 6)-(x^{2}-4x + 4)$。
化簡得$2z = 2x^{2}+2$,則$z=x^{2}+1$。
2. 然后,比較$y$與$x$的大小:
計算$y - x=(2x^{2}-4x + 5)-x$。
即$y - x=2x^{2}-5x + 5$。
對于二次函數(shù)$ax^{2}+bx + c$(這里$a = 2$,$b=-5$,$c = 5$),其判別式$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×2×5=25 - 40=-15\lt0$,且$a = 2\gt0$,所以$y - x=2x^{2}-5x + 5\gt0$,即$y\gt x$。
3. 接著,比較$z$與$x$的大小:
計算$z - x=(x^{2}+1)-x$。
即$z - x=x^{2}-x + 1$。
對于二次函數(shù)$ax^{2}+bx + c$(這里$a = 1$,$b=-1$,$c = 1$),其判別式$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×1×1=1 - 4=-3\lt0$,且$a = 1\gt0$,所以$z - x=x^{2}-x + 1\gt0$,即$z\gt x$。
4. 最后,比較$y$與$z$的大小:
計算$y - z=(2x^{2}-4x + 5)-(x^{2}+1)$。
即$y - z=x^{2}-4x + 4$。
根據(jù)完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$,這里$y - z=(x - 2)^{2}\geqslant0$(當(dāng)且僅當(dāng)$x = 2$時取等號)。
綜上,$y\geqslant z\gt x$。
1.若M=x2,N=-x - 1,則M與N的大小關(guān)系是(
A

A.M>N
B.M=N
C.M<N
D.與x有關(guān)
答案:A解析:M - N=x2 + x + 1=(x + 1/2)2 + 3/4>0,所以M>N,選A。
2.若P=√a + √(a + 7),Q=√(a + 3) + √(a + 4)(a≥0),則P,Q的大小關(guān)系是(
A

A.P<Q
B.P=Q
C.P>Q
D.P,Q的大小關(guān)系由a的取值確定
答案:A
解析:P2=2a + 7 + 2√(a(a + 7)),Q2=2a + 7 + 2√((a + 3)(a + 4)),(a + 3)(a + 4)=a2 + 7a + 12>a2 + 7a,所以Q2>P2,P<Q,選A。
3.已知實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(
A

A.a + b>0
B.a - b>0
C.ab>0
D.a/b>0
答案:A
解析:由圖知a<0,b>0,|a|<|b|,a + b>0,A正確;a - b<0,B錯;ab<0,C錯;a/b<0,D錯,選A。
4.一方有難,八方支援,這是中華民族的傳統(tǒng)美德.現(xiàn)有至少1500t糧食和840t藥品必須在一天之內(nèi)全部運送到某災(zāi)區(qū),可以用輪船和飛機(jī)兩種運輸工具.已知每天每艘輪船可同時運送糧食200t和藥品70t,每架飛機(jī)每天可同時運送糧食100t和藥品80t,設(shè)安排x艘輪船和y架飛機(jī),則輪船和飛機(jī)的數(shù)量應(yīng)滿足的不等關(guān)系為
200x + 100y≥1500,70x + 80y≥840,x≥0,y≥0,x,y∈N
.
答案:200x + 100y≥1500,70x + 80y≥840,x≥0,y≥0,x,y∈N
解析:糧食:200x + 100y≥1500,藥品:70x + 80y≥840,x,y為非負(fù)整數(shù)。
5.拓展提高 若x=(a + 3)(a - 5),y=(a + 2)(a - 4),則x與y的大小關(guān)系是
x<y
.
答案:x<y
解析:x - y=(a2 - 2a - 15) - (a2 - 2a - 8)=-7<0,所以x<y。
6.若a>b,則a2與b2的大小關(guān)系是
不確定
.
答案:不確定
解析:a=1,b=-2時,a2=1<b2=4;a=2,b=1時,a2=4>b2=1,所以不確定。
7.某公司有$20$名技術(shù)人員,計劃開發(fā)$A$,$B$兩類共$50$件電子器件,每類每件所需人員數(shù)和產(chǎn)值如下:
|產(chǎn)品種類|每件所需人員數(shù)|每件產(chǎn)值/(萬元/件)|
|----|----|----|
|$A$類|$\frac{1}{2}$| $7.5$|
|$B$類|$\frac{1}{3}$| $6$|
要使總產(chǎn)值最高,則$A$類電子器件應(yīng)開發(fā)____件,總產(chǎn)值最高為____萬元。

答案:
1. 設(shè)開發(fā)$A$類電子器件$x$件,則開發(fā)$B$類電子器件$(50 - x)$件:
根據(jù)人員限制列不等式:
已知共有$20$名技術(shù)人員,$A$類每件所需人員數(shù)為$\frac{1}{2}$,$B$類每件所需人員數(shù)為$\frac{1}{3}$,則$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}(50 - x)\leq20$。
去括號得$\frac{1}{2}x+\frac{50}{3}-\frac{1}{3}x\leq20$。
通分:$\frac{3x}{6}-\frac{2x}{6}\leq20 - \frac{50}{3}$。
即$\frac{x}{6}\leq\frac{60 - 50}{3}$,$\frac{x}{6}\leq\frac{10}{3}$,解得$x\leq20$。
設(shè)總產(chǎn)值為$y$萬元:
根據(jù)產(chǎn)值公式$y = 7.5x+6(50 - x)$。
展開式子:$y = 7.5x+300 - 6x$。
合并同類項得$y = 1.5x + 300$。
2. 分析函數(shù)$y = 1.5x + 300$的單調(diào)性:
因為$1.5\gt0$,所以$y$是關(guān)于$x$的一次函數(shù),且$y$隨$x$的增大而增大。
又因為$x\leq20$,$x$為非 - 負(fù)整數(shù)($x\geq0$且$50 - x\geq0$)。
3. 求最大值:
當(dāng)$x = 20$時,$y$取得最大值。
把$x = 20$代入$y = 1.5x + 300$,得$y=1.5×20 + 300$。
先計算$1.5×20=30$,再計算$y = 30+300=330$。
所以$A$類電子器件應(yīng)開發(fā)$20$件,總產(chǎn)值最高為$330$萬元。
故答案依次為:$20$;$330$。
8.已知正數(shù)a,b,c滿足ab + bc + ca=1.求證:(a + b + c)2≥3.
答案:證明:(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)=a2 + b2 + c2 + 2,因為a2 + b2≥2ab,b2 + c2≥2bc,c2 + a2≥2ca,相加得2(a2 + b2 + c2)≥2(ab + bc + ca)=2,所以a2 + b2 + c2≥1,(a + b + c)2≥3。
9. 某電腦用戶計劃使用不超過$500$元的資金購買單價分別為$60$元、$70$元的鼠標(biāo)和鍵盤. 根據(jù)需要,鼠標(biāo)至少買$3$個,鍵盤至少買$2$個,則不同的選購方式有多少種?
答案:4種
解析:設(shè)買鼠標(biāo)$x$個,鍵盤$y$個,$x\geq3$,$y\geq2$,$60x + 70y\leq500$。$x = 3$時$y=2,3$;$x = 4$時$y=2$;$x = 5$時$y=2$;$x\geq6$時不滿足,共4種
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