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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數學必修第一冊人教版
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3. 設$ p,q $均為實數，判斷“$ q\lt0 $”是“方程$ x^{2}+px + q = 0 $有一個正實根和一個負實根”的什么條件。
答案：充要條件
解析：方程有一正一負根等價于$\Delta = p^{2}-4q\gt0$且$ q\lt0 $，而$ q\lt0 $時$\Delta\gt0$恒成立，故為充要條件。
6. 若$ a,b $是實數，則“$ a + b\gt0 $，且$ ab\gt0 $”的充要條件為
$ a\gt0 $且$ b\gt0 $
。
答案：$ a\gt0 $且$ b\gt0 $
解析：$ ab\gt0 $得$ a,b $同號，$ a + b\gt0 $得同正。
7. 四個電路圖如圖所示，$ p $：“開關$ S $閉合”，$ q $：“燈泡$ L $亮”，則$ p $是$ q $的充分不必要條件的電路圖是
②
；$ p $是$ q $的充要條件的電路圖是
①
。
答案：②；①
解析：圖②中$ S $閉合則$ L $亮，但$ L $亮可能是$ S_{1} $閉合（假設其他開關），故充分不必要；圖①中$ S $閉合$ L $亮，反之亦然，為充要條件。
8. 已知集合$ M=\{x|x\lt - 3 $，或$ x\gt5\} $，$ P=\{x|(x - a)(x - 8)\leq0\} $，求實數$ a $的取值范圍，使它成為$ M\cap P=\{x|5\lt x\leq8\} $的充要條件。
答案：$ a = - 3 $
解析：$ P $的解集為$[\min(a,8),\max(a,8)]$。要使$ M\cap P=(5,8] $，則$ P $左端點為$ - 3 $（即$ a=-3 $），此時$ P=[-3,8] $，$ M\cap P=(5,8] $。
4. 若$ a,b $是實數，則“$ a\lt0 $，且$ b\lt0 $”是“$ ab(a - b)\gt0 $”的（
D
）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
答案：D
解析：當$ a=-2,b=-1 $時，$ ab(a - b)=2×(-1)=-2\lt0 $（不充分）；當$ a = 3,b = 2 $時，$ ab(a - b)=6×1=6\gt0 $（不必要）。
5. 多選題 下列說法正確的是（
BC
）
A. “$ x\gt3 $”是“$ x\gt2 $”的必要條件
B. “$ x\gt1 $”是“$ x^{2}\gt1 $”的充分不必要條件
C. “$ x = 2 $或$ - 3 $”是“$ x^{2}+x - 6 = 0 $”的充要條件
D. “$ a\lt b $”是“$ a^{2}\gt b^{2} $”的必要不充分條件
答案：BC
解析：A. $ x\gt3\Rightarrow x\gt2 $，應為充分條件；B. $ x\gt1\Rightarrow x^{2}\gt1 $，反之不成立（如$ x=-2 $）；C. 方程$ x^{2}+x - 6 = 0 $的根為$ 2 $或$ - 3 $；D. $ a\lt b $與$ a^{2}\gt b^{2} $無必然聯系（如$ a = 1,b = 2 $）。
