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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數學必修第一冊人教版
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【例3】(1)若集合$ A = \{x|a - 2 ＜ x ＜ a + 2\} $，$ B = \{x|x \leq -2 $，或$ x \geq 4\} $，則$ A\cap B = \varnothing $的充要條件是（
A
）
A.$ 0 \leq a \leq 2 $
B.$ -2 ＜ a ＜ 2 $
C.$ 0 ＜ a \leq 2 $
D.$ 0 ＜ a ＜ 2 $
答案：A
解析：$ A\cap B = \varnothing \Rightarrow \begin{cases}a - 2 \geq -2 \\ a + 2 \leq 4\end{cases} \Rightarrow 0 \leq a \leq 2 $。
2.已知$ m\in \mathbf{Z} $，關于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4x + 4m = 0 $和$ x^2 - 4mx + 4m^2 - 4m - 5 = 0 $，求證：上述兩個方程的根都是整數的充要條件是$ m = 1 $。
答案：證明：
充分性：$ m = 1 $時，方程1：$ x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 $（整數）；方程2：$ x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $或$ x = -1 $（整數）。
必要性：方程1有整數根$\Rightarrow \Delta = 16 - 16m \geq 0 \Rightarrow m \leq 1$，且根為$ 2\pm\sqrt{4 - 4m} $為整數$\Rightarrow 4 - 4m$為平方數$\Rightarrow m = 0$或$1$。
$ m = 0 $時方程2：$ x^2 - 5 = 0 $無整數根；$ m = 1 $時方程2有整數根，故$ m = 1 $。
3.(1)“函數$ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $的圖象與$ y $軸交于負半軸”的充要條件是
$ c ＜ 0 $
；
(2)關于$ x $的方程$ m^2x^2 - (m + 1)x + 2 = 0 $的所有實數根的和為2的充要條件是
$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $
。
答案：(1)$ c < 0 $
(2)$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $
解析：
(2)當$ m = 0 $時，方程為$-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$，所有實數根的和為2；當$ m \neq 0 $時，$\Delta = (m + 1)^2 - 8m^2 \geq 0$且$\frac{m + 1}{m^2} = 2 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$（$ m = 1 $時$\Delta < 0$舍去）。綜上，充要條件是$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $。
1.若$ A,B $是兩個集合，則“$ A\cap B = A $”是“$ A\subseteq B $”的（
C
）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案：C
解析：$ A\cap B = A \Leftrightarrow A\subseteq B $。
2.從“充分條件”“必要條件”中選出適當的一種填空：
(1)“關于$ x $的方程$ ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0) $有實數根”是“$ ac ＜ 0 $”的
必要條件
；
(2)“$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$”是“$\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$”的
充分條件
。
答案：(1)必要條件
(2)充分條件
解析：
(1)方程有實根$\Rightarrow \Delta \geq 0 \nRightarrow ac ＜ 0$，$ ac ＜ 0 \Rightarrow \Delta ＞ 0 \Rightarrow$方程有實根。
(2)全等一定相似，相似不一定全等。
