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1．sin (–270°) = (　 )

A．–1　　　　　　　　　　　　 B．0　　　　　　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　　　　 D．–

21．(本小題滿分13分)

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來(lái)的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為．

　 (1)試求無(wú)窮等比子數(shù)列()各項(xiàng)的和；

　 (2)已知數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮等比子數(shù)列各項(xiàng)的和為，求這個(gè)子數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(3)證明：在數(shù)列的所有子數(shù)列中，不存在兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等．

解：(1)依條件得： 則無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為：

．　 ……………………………………………………………………3分

(2)解法一：設(shè)子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，

則，即 ，　 ．

而 　，則 ．

所以，滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)．公比均為，

其通項(xiàng)公式為，．　　 ………………………………………………7分

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．

由………… ①

又若，則對(duì)每一_，都有………… ②

從①、②得；則；

因而滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)．公比均為無(wú)窮等比子數(shù)列，通項(xiàng)公式為，．　 …………………………………………7分

(3)假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和相等．設(shè)這兩個(gè)

子數(shù)列的首項(xiàng)與公比分別為和，其中且或，則………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

．

①………… ②

②

或

，兩個(gè)等式的左,右端的奇偶性均矛盾．

故不存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們的各項(xiàng)和相等． ………13分

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20．(本小題滿分13分)

已知是橢圓的頂點(diǎn)(如圖),直線與橢圓交于異于頂點(diǎn)的兩點(diǎn),且．若橢圓的離心率

是,且．

(1)求此橢圓的方程；

(2)設(shè)直線和直線的傾斜角分別

為．試判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由．

解：(1)由已知可得，所以橢圓方程為．　 ……4分

(2)是定值．理由如下：

　　 由(1)，A₂(2，0)，B(0，1)，且//A₂B，所以直線的斜率．…6分

　　 設(shè)直線的方程為,，

　　 即，且 ．　　　　 ………………………9分

　　 ． …………………………………………10分

　　 又因?yàn)?sub>，

　　 ＝

　　 ．

　　 又 是定值．…………………………13分

19．(本小題滿分13分)

已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式　

恒成立，求實(shí)數(shù)的取值組成的集合．

解：(1)由已知得．因?yàn)?sub>，

所以當(dāng)．

故區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間，區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間．……5分

(2)①當(dāng)時(shí)，．

令，則．

由(1)知當(dāng)時(shí)，有，所以，

即得在上為增函數(shù)，所以，

所以． ………………………………………………………………………………9分

②當(dāng)時(shí)，．

由①可知，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，

所以．

綜合以上得．故實(shí)數(shù)的取值組成的集合為．　 …………………………13分

18．(本小題滿分12分)

在一種智力有獎(jiǎng)競(jìng)猜游戲中，每個(gè)參加者可以回答兩個(gè)問(wèn)題(題1和題2)，且對(duì)兩個(gè)問(wèn)題可以按自己選擇的順序進(jìn)行作答，但是只有答對(duì)了第一個(gè)問(wèn)題之后才能回答第二個(gè)問(wèn)題．假設(shè)：答對(duì)題()，就得到獎(jiǎng)金元，且答對(duì)題的概率為()，并且兩次作答不會(huì)相互影響．

(1)當(dāng)元，，元，時(shí)，某人選擇先回答題1，設(shè)獲得獎(jiǎng)金為，求的分布列和．

(2)若，，若答題人無(wú)論先回答哪個(gè)問(wèn)題，答題人可能得到的獎(jiǎng)金一樣多，求此時(shí)的值．

解：(1)分布列：

	0	2000	3000
	0.4	0.12	0.48

．　………………………………6分(2)設(shè)選擇先回答題1，得到的獎(jiǎng)金為；選擇先回答題2，得到的獎(jiǎng)金為，

則有_，．根據(jù)題意可知：

，

當(dāng)時(shí)，(負(fù)號(hào)舍去)．當(dāng)時(shí)，_，

_，先答題1或題2可能得到的獎(jiǎng)金一樣多．………………………………12分

17．(本小題滿分12分)

已知斜三棱柱，，　

，在底面上的射影恰

為的中點(diǎn)，又知．

(1)求證：平面；

(2)求二面角的大小．

解：(1)取的中點(diǎn)，則，因?yàn)?sub>，

所以，又平面，以為軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由，知，

又，從而平面．　 　…………………………………………6分

(2)由，得．設(shè)平面的法向量為，

，，所以 ，

設(shè)，則．

再設(shè)平面的法向量為，，，

所以 ，設(shè)，則．

根據(jù)法向量的方向，可知二面角的大小為． ……………12分

幾何法(略)

16．(本小題滿分12分)

已知sin(+3a) sin(－3a)＝，a∈(0， )，求(1)求角；(2)求( －)sin4α的值．

解：(1)

，

即，又6a∈(0，)，∴，即．…………………………6分

(2)(－)

sin4α=

．………………………………………………………………………12分

15．已知，滿足，且目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，最小值為4，

則(i)；(ii)的取值范圍為．

14．已知數(shù)列：1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，，……．

(i)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為；(ii)前2009項(xiàng)的和為．

13．底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐ABCD內(nèi)接于球O，則球O的表面積為．