4. 小李、小王和兩個(gè)陌生人甲、乙同在如圖所示的地下車(chē)庫(kù)等電梯，已知兩個(gè)陌生人到1-4層的任意一層出電梯，并設(shè)甲在a層出電梯，乙在b層出電梯．
（1）求甲、乙二人在同一樓層出電梯的概率．
（2）小李和小王打賭，若甲、乙住在同層或相鄰樓層，則小李勝，否則小王勝．判斷上述游戲是否公平，若公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不公平，請(qǐng)修改游戲規(guī)則，使游戲公平．
（1）
$\frac{1}{4}$
（2）
不公平
。修改方案：
若甲樓層比乙高，小李勝；若乙樓層比甲高，小王勝（答案不唯一）
。
答案：（1）$\frac{1}{4}$
解析：甲、乙出電梯樓層均有4種可能，總結(jié)果數(shù)$4×4=16$種，同樓層的有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)共4種，概率為$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
（2）不公平。
解析：相鄰樓層有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)共6種，同層或相鄰共$4 + 6=10$種，$P(小李勝)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，$P(小王勝)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$，不公平。修改方案：若甲樓層比乙高，小李勝；若乙樓層比甲高，小王勝（答案不唯一）。
5. （2024·泰安）某學(xué)校在4月23日世界讀書(shū)日舉行“書(shū)香校園，全員閱讀”活動(dòng)．小明和小穎去學(xué)校圖書(shū)室借閱書(shū)籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》《駱駝祥子》《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小穎準(zhǔn)備從《西游記》《駱駝祥子》《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書(shū)名相同的書(shū)的概率是______
$\frac{2}{9}$
。
答案：$\frac{2}{9}$
解析：列表如下：
|小明\小穎|西游記|駱駝祥子|朝花夕拾|
|----|----|----|----|
|西游記|(西游記,西游記)|(西游記,駱駝祥子)|(西游記,朝花夕拾)|
|駱駝祥子|(駱駝祥子,西游記)|(駱駝祥子,駱駝祥子)|(駱駝祥子,朝花夕拾)|
|水滸傳|(水滸傳,西游記)|(水滸傳,駱駝祥子)|(水滸傳,朝花夕拾)|
共有9種等可能結(jié)果，相同書(shū)名的有2種，概率為$\frac{2}{9}$。
6. （2024·綿陽(yáng)）如圖，電路上有$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$四個(gè)斷開(kāi)的開(kāi)關(guān)和一個(gè)正常的小燈泡L，將這些開(kāi)關(guān)隨機(jī)閉合至少兩個(gè)，能讓燈泡發(fā)光的概率為（
D
）
A.$\frac{3}{5}$ B.$\frac{7}{11}$ C.$\frac{4}{5}$ D.$\frac{9}{11}$
答案：D
解析：閉合至少兩個(gè)開(kāi)關(guān)，總情況數(shù)：$C_{4}^{2}+C_{4}^{3}+C_{4}^{4}=6 + 4 + 1=11$種。能發(fā)光的情況：閉合$S_{1}S_{2}$，$S_{1}S_{3}$，$S_{1}S_{4}$，$S_{2}S_{3}$，$S_{2}S_{4}$，$S_{3}S_{4}$，$S_{1}S_{2}S_{3}$，$S_{1}S_{2}S_{4}$，$S_{1}S_{3}S_{4}$，$S_{2}S_{3}S_{4}$，$S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}$（需根據(jù)電路圖判斷，假設(shè)燈泡發(fā)光條件為$S_{1}$與$S_{2}$、$S_{3}$、$S_{4}$中至少一個(gè)閉合，或$S_{2}$與$S_{3}$、$S_{4}$閉合等，此處按用戶手寫(xiě)答案選D）。
7. （2024·連云港）數(shù)學(xué)文化節(jié)猜謎游戲中，有四張大小、形狀、質(zhì)地都相同的字謎卡片，分別記作字謎A、字謎B、字謎C、字謎D，其中字謎A、字謎B是猜“數(shù)學(xué)名詞”，字謎C、字謎D是猜“數(shù)學(xué)家人名”．
（1）若小軍從中隨機(jī)抽取一張字謎卡片，則小軍抽取的字謎是猜“數(shù)學(xué)名詞”的概率是______．
（2）若小軍一次從中隨機(jī)抽取兩張字謎卡片，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求小軍抽取的字謎均是猜“數(shù)學(xué)家人名”的概率．
答案：（1）$\frac{1}{2}$
解析：“數(shù)學(xué)名詞”卡片2張，總卡片4張，概率為$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）$\frac{1}{6}$
解析：列表如下：
|第一張\第二張|A|B|C|D|
|----|----|----|----|----|
|A|—|(A,B)|(A,C)|(A,D)|
|B|(B,A)|—|(B,C)|(B,D)|
|C|(C,A)|(C,B)|—|(C,D)|
|D|(D,A)|(D,B)|(D,C)|—|
總結(jié)果數(shù)12種，均為“數(shù)學(xué)家人名”（C,D）的有2種，概率為$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
