新課程能力培養九年級數學北師大版
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19. 如圖，小張和小李想測量學校旗桿的高度，她們來到操場，小張測得小李身高1.6m，在陽光下的影子長度為2.4m，她想立刻測量旗桿的影長時，因旗桿靠近一教學樓，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，測得落在地面上的影長為12m，留在墻上的影高為2m，求旗桿的高度。
答案：10m，過程如下：
設旗桿高度為h，過墻上影子頂端作水平線交旗桿于點E，則旗桿被分為EB=2m和AE=h - 2m。
由相似三角形性質，$\frac{小李身高}{小李影長}=\frac{AE}{地面影長}$，即$\frac{1.6}{2.4}=\frac{h - 2}{12}$，
解得$h - 2=8$，$h=10m$。
20. 如圖，在□ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE=∠B。
（1）求證：△ADF∽△DEC。
（2）若AB=4，AD=3√3，AE=3，求AF的長。
答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B + ∠C=180°。
∵∠AFE=∠B，∠AFE + ∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC。
（2）2√3，過程如下：
∵AE⊥BC，AD=3√3，AE=3，
∴在Rt△ADE中，$DE=\sqrt{AD^2 + AE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2}=6$。
∵AB=4，∴CD=AB=4。
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AD}{DE}$，即$\frac{AF}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{6}$，
解得$AF=2\sqrt{3}$。
21. 如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=3cm，BC=6cm。某一時刻，動點M從點A出發沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，問：
（1）經過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的$\frac{1}{9}$？
（2）是否存在時刻t，使以A，M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。
答案：（1）1s或2s，過程如下：
設運動時間為t s，則AM=t，AN=6 - 2t（0≤t≤3）。
矩形面積=3×6=18，$\frac{1}{9}$矩形面積=2。
$S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}×t×(6 - 2t)=2$，
整理得$t^2 - 3t + 2=0$，
解得t=1或t=2。
（2）存在，t=3/2 s或t=12/5 s，過程如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=90°，CD=AB=3cm，AD=BC=6cm。∠MAN=90°，要使△AMN與△ACD相似，分兩種情況：①當△AMN∽△ACD時，AM/CD=AN/AD，即t/3=(6 - 2t)/6，解得2t=6 - 2t，4t=6，t=3/2；②當△AMN∽△CAD時，AM/AD=AN/CD，即t/6=(6 - 2t)/3，解得t=12 - 4t，5t=12，t=12/5=2.4。∵t=3/2和t=12/5均滿足0≤t≤3，∴t=3/2 s或t=12/5 s。
