新課程能力培養九年級數學北師大版
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9. 一個直角三角形的三條邊的長是三個連續自然數，如果設這個三角形最短的邊長為x，請列出關于x的方程，并將方程整理為一般形式。
答案：根據題意，另外兩條邊分別為$x + 1$，$x + 2$。因為是直角三角形，根據勾股定理可得方程$x^{2}+(x + 1)^{2}=(x + 2)^{2}$。整理：\[
\begin{align*}
x^{2}+x^{2}+2x + 1&=x^{2}+4x + 4\
x^{2}+x^{2}+2x + 1-x^{2}-4x - 4&=0\
x^{2}-2x - 3&=0
\end{align*}
\]
10. 有一間長20 m、寬15 m的會議室，在它的中間鋪一塊地毯，地毯的面積是會議室面積的$\frac{1}{2}$，四周未鋪地毯的留空寬度相同，求留空的寬度.（只要求列出方程，并將方程整理為一般形式）
答案：設留空寬度為$x$米，那么地毯的長為$(20 - 2x)$米，寬為$(15 - 2x)$米。會議室面積為$20×15$平方米，地毯面積為會議室面積的$\frac{1}{2}$，可列方程$(20 - 2x)(15 - 2x)=\frac{1}{2}×20×15$。整理：\[
\begin{align*}
300-40x-30x + 4x^{2}&=150\
4x^{2}-70x + 300 - 150&=0\
4x^{2}-70x + 150&=0\
2x^{2}-35x + 75&=0
\end{align*}
\]
11. 某賓館有50個標準間，每個標準間收費120元時可全部租出. 為了盡可能降低消耗，同時又增加收入，賓館決定提高標準間的出租價格，若每個標準間每晚漲價10元，每晚就少2個標準間租出. 賓館若每晚收入6600元，那么每個標準間應漲價多少元？這時每晚能租多少個標準間？（只要求列出方程，并將方程整理為一般形式）
答案：設每個標準間漲價$10x$元，則每晚租出的房間數為$(50 - 2x)$個。可列方程$(120 + 10x)(50 - 2x)=6600$。整理：\[
\begin{align*}
6000-240x + 500x-20x^{2}&=6600\
-20x^{2}+260x + 6000 - 6600&=0\
-20x^{2}+260x - 600&=0\
x^{2}-13x + 30&=0
\end{align*}
\]
12. (2024·重慶) 重慶在低空經濟領域實現了新的突破. 今年第一季度低空飛行航線安全運行了200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次. 設第二、第三季度安全運行架次的平均增長率為$x$，根據題意，可列方程為 ____________。
答案：第一季度運行$200$架次，第二季度運行$200(1 + x)$架次，第三季度運行$200(1 + x)^{2}$架次，可列方程$200(1 + x)^{2}=401$。
13. (2022·泰安) 我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：六貫二百一十文，遣人去買幾株椽. 每株腳錢三文足，無錢準與一株椽. 其大意為：現請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文. 如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽. 設這批椽的數量為$x$株，則符合題意的方程是（ ）A. $3(x - 1)=6210$ B. $3(x - 1)=\frac{6210}{x}$ C. $(3x - 1)x=6210$ D. $3x=6210$
答案：每株椽的價錢是$\frac{6210}{x}$文，椽的數量是$x$株，少拿一株椽即$(x - 1)$株，其運費為$3(x - 1)$文，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，所以$3(x - 1)=\frac{6210}{x}$，答案選B。
