新課程能力培養九年級數學北師大版
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13. (2024·遼寧) 如圖，AB//CD，AD與BC相交于點O，且△AOB與△DOC的面積比是1:4，若AB=6，則CD的長為
12
.
答案：12
解析：AB//CD，△AOB∽△DOC，面積比1:4，相似比1:2，CD=2AB=12.
14. (2024·內江) 已知△ABC與△DEF相似，且相似比為1:3，則△ABC與△DEF的周長之比是（
B
）
A. 1:1 B. 1:3 C. 1:6 D. 1:9
答案：B
解析：相似三角形周長比等于相似比1:3，選B.
15. (2024·巴中) 如圖是用12個相似的直角三角形組成的圖案，若OA=1，則OG=（
A
）
A. $\frac{125\sqrt{5}}{64}$ B. $\frac{125}{64}$ C. $\frac{64}{27}$ D. $\frac{32\sqrt{3}}{27}$
答案：A
解析：設第一個直角三角形短直角邊為1，相似比為k，OA=1，OB=k，OC=k2，…，OG=k?.
由勾股定理得k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OG=$(\frac{\sqrt{5}}{2})^6=\frac{125\sqrt{5}}{64}$，選A.
16. (2022·東營) 如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點，∠BAC=∠MAN=60°，連接MN，OM.以下四個結論正確的是（
D
）
①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是$\sqrt{3}$；③當MN最小時，$S_{\triangle AMN}=\frac{1}{8}S_{菱形ABCD}$；④當OM⊥BC時，OA2=DN·AB.
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
答案：D
解析：①證△ABM≌△ACN，AM=AN，∠MAN=60°，△AMN等邊，正確.
②MN=AM，AM最小值為$\sqrt{3}$，正確.
③$S_{菱形ABCD}=2\sqrt{3}$，$S_{\triangle AMN}=\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{8}×2\sqrt{3}$，正確.
④OM⊥BC時，DN=$\frac{1}{2}$，OA2=3=DN·AB=1×2=2，錯誤（此處修正：OA=$\sqrt{3}$，OA2=3，DN·AB=$\frac{3}{2}×2=3$，正確），選D.
17. (2022·杭州) 如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF.已知四邊形BFED是平行四邊形，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1) 若AB=8，求線段AD的長.
(2) 若△ADE的面積為1，求□BFED的面積.
答案：(1) 2
解析：DE//BC，$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$，AD=8×$\frac{1}{4}$=2.
(2) 6
解析：△ADE∽△ABC，面積比1:16，S△ABC=16.
四邊形BFED是平行四邊形，EF=BD=AB-AD=6，$\frac{EF}{AB}=\frac{3}{4}$，S△EFC=9，S□BFED=16-1-9=6.
