新課程能力培養九年級數學北師大版
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(2024·深圳)一元二次方程$x^{2}-4x + 4 = 0$的一個解為$x = 1$，則$A =$_____.
答案：題目有誤，將$x = 1$代入方程$x^{2}-4x + 4 = 0$，左邊$=1^{2}-4\times1 + 4=1\neq0$，$x = 1$不是方程$x^{2}-4x + 4 = 0$的解，方程$x^{2}-4x + 4 = 0$，根據完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，可化為$(x - 2)^2 = 0$，解得$x = 2$。如果題目是求方程正確解代入后的相關值，請補充完整信息。
(2024·南充)已知$m$是方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的一個根，則$(m + 5)(m - 1)$的值為_____.
答案：因為$m$是方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的一個根，所以$m^{2}+4m-1 = 0$，即$m^{2}+4m=1$。
而$(m + 5)(m - 1)=m^{2}-m + 5m-5=m^{2}+4m-5$，把$m^{2}+4m = 1$代入可得：$1-5=-4$。
(2022·遂寧)已知$m$為方程$x^{2}+3x - 2022 = 0$的根，那么$m^{3}+2m^{2}-2025m$的值為（ ）
A. -2022
B. 0
C. 2022
D. 4044
答案：因為$m$是方程$x^{2}+3x - 2022 = 0$的根，所以$m^{2}+3m-2022 = 0$，即$m^{2}+3m=2022$。
$m^{3}+2m^{2}-2025m=m(m^{2}+2m - 2025)=m(m^{2}+3m - m - 2025)$，把$m^{2}+3m = 2022$代入得：
$m(2022 - m - 2025)=m(-m - 3)=-m^{2}-3m=-(m^{2}+3m)=-2022$，所以選A。
8. 某商場將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個。商場將這種商品按50元售出時，就決定適當漲價，經市場調查，這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個。如果商場想將這種商品漲價$x$元后，得到8000元的利潤，請你列出關于$x$的方程，并估算出商場應漲價多少元。
答案：1. 首先分析利潤的計算方式：
- 單個商品的利潤：原來售價50元，漲價$x$元后，售價為$(50 + x)$元，進貨單價為40元，則單個商品利潤為$(50 + x-40)=(10 + x)$元。
- 銷售量：原來能賣出500個，每漲價1元銷售量減少10個，漲價$x$元后，銷售量為$(500 - 10x)$個。
2. 然后根據“利潤=單個商品利潤×銷售量”列出方程：
- 可得$(10 + x)(500 - 10x)=8000$。
3. 接著對方程進行整理：
- 展開式子得$5000-100x + 500x-10x^{2}=8000$。
- 移項化為一般形式為$-10x^{2}+400x - 3000 = 0$，兩邊同時除以$-10$得$x^{2}-40x + 300 = 0$。
4. 最后估算$x$的值：
- 對于方程$x^{2}-40x + 300 = 0$，我們可以嘗試代入一些整數。
- 當$x = 10$時，$10^{2}-40\times10 + 300=100-400 + 300 = 0$；當$x = 30$時，$30^{2}-40\times30 + 300=900-1200 + 300 = 0$。
- 所以商場應漲價10元或30元。
