題目列表(包括答案和解析)
3、復合法：例如，求函數
)的值域。可用復合法：
設
， ①
則
. ②
把函數②寫成
∴函數y的值域是
。
其中，把函數
寫成①、②兩個函數的復合，即
y=f(u), u=sinx。
這就是復合映射的方法，簡稱復合法。其實質是一種換元法。本節暫不深究，以后再學習。
問7.怎樣求f(x)？舉例說明。
[探路]
求f(x)的方法應該是具體問題具體分析，依據問題的已知條件和問題類型，自我探索求法。這里，
只能總結常用的方法，當然，這一總結也應該是“自我總結”，因為“自我總結”是學習的上策。
[解]求f(x)的常用方法是：
2、分段法：掌握分段函數。
例如，把函數y=|x+1|-|x-2|化為分段函數是
1、一般表示法：解析法、圖象法、列舉法。
4、應該知道，函數的決定性要素是兩個：定義域和對應法則，而值域是由定義域和對應法則確定的，
因而今后有“求函數的值域”的很多難題。因此，研究函數的任何問題都必須由定義域和對應法
則這兩個獨立要素下手。但很多人往往“忽視定義域”的錯誤。
問5：怎樣判別兩個函數是否為同一函數？
[解]要根據函數三要素來判別。
判別法一(充要)：“定義域相同”且“對應法則等價”。
判別法二(充要)：兩個函數的圖象完全重合，則兩函數是同一函數。
判別法三(必要)：
(1)定義域不同，則函數不同。
(2)值域不同，則函數不同。
問6：怎樣表示函數？
[解]應掌握以下表示法：
3、值域C是B的子集，當B中的每一元素都有原象時，B=C。
2、函數符號y=f(x)表示“y是x的函數”，有的簡記作函數f(x)。而f(a)表示自變量x=a(a∈A) 時
的函數值(象)。
1、函數是特殊的映射，特別僅在A、B是非空數集。函數、一一映射、映射、對應之間的關系，
如圖1所示。
4、映射是一種特殊的“對應”。而“對應”與集合一樣，也是原始概念，即無定義的，但可以“說
明”：對應是兩個集合A與B的關系，通常以一個集合為主來考慮，對于A中的每一個元素來說，有
以下三種對應關系：
(1)B中有唯一元素與之對應。
(2)B中有多個元素(不是唯一)與之對應。
(3)B中沒有元素與之對應。
映射就是第(1)種對應，而(2)、(3)兩種對應不是映射。
問2：在映射f∶A→B中，什么叫“象”和“原象”？怎樣判別一個對應是否是映射？試舉一個正例和反例。
[解]在映射f∶A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b對應，那么，元素b叫做元素a的象，元素a叫
做元素b的原象，記作：f(a)=b。
判別一個對應是映射f∶A→B的要點是：
①A到B；
②A中每一個元素都有象，且象唯一
例如，判別下面的對應是不是映射f∶A→B？
(1)A={三角形}，B={圓}，對應法則f∶作三角形的外接圓。
(2)A=B=R，對應法則f∶x→y=
解：(1)是映射。(2)不是映射，因為0∈A，但0的象不存在。
問3：什么叫A到B上的一一映射？試舉一個正例和反例。
[解]如果映射f∶A→B再滿足：
那么這個映射叫做A到B上的一一映射。
例如，下面的映射f∶A→B是不是一一映射？
(1)A={三角形}，B={圓}，對應法則f∶作三角形的外接圓。
(2)A={x|x≥0}，B={y|y≥0}，對應法則f∶x→y=x2.
解：
(1)不是一一映射，因為不同的三角形可以有同一個外接圓(一個圓的內接三角形有無數個)，
即A中不同元素在B中有同一個象。
(2)是一一映射，因為它滿足一一映射的條件：
①設x1,x2∈A，且x1≠x2，則由x1≥0，x2≥0，x1≠x2Þy1=
=y2；
②設任一個y1∈B，則由x1≥0Þy1=x2Þx=
。
問4：什么叫函數(用映射回答)？函數的定義域、值域？指出函數的要素。
[解]
如果A，B都是非空數集，那么A到B的映射f∶A→B就叫做A到B的函數，記作y=f(x)
(x∈A，y∈B)。
原象的集合A叫做函數y=f(x)的定義域；象的集合C(CÍB)叫做函數y=f(x)
的值域。
函數的定義域、對應法則和值域，通常稱為函數的三要素。
[評注]
3、在A到B的映射中，集合A中的每一個元素在B中都有“象”，且“象”唯一。
2、映射f∶A→B是有方向的，即從A到B，定義中只要求A中的每一個元素在B中有怎樣的“象”？并不
要求B中的每一個元素在A中有怎樣的對應。因此，“從A到B的映射”與“從B到A的映射”是不
同的。
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