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2、 估算選擇法

估算是用于解答選擇題的一種簡(jiǎn)捷方法，它是指通過大體估值、合理猜想或特殊驗(yàn)證等手段，準(zhǔn)確、迅速地選出答案的方法．充分體現(xiàn)了小題小(巧)做的解題策略．在近年高考的“多想少算”命題思想中，“估算法”更是解決此類問題的有效途徑，常有以點(diǎn)估式(圖)、以部分估整體、以范圍估數(shù)值等．

例5(1999年全國高考題)如圖1，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，，EF與面AC的距離為2，則多面體的體積為()

A. B. 5C. 6D.

圖1

分析：本題的背景是非典型的多面體，需對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合．連EB、EC，得一個(gè)四棱錐E-ABCD和一個(gè)三棱錐E-BCF，結(jié)合選項(xiàng)可知：用易求的部分體積“四棱錐E-ABCD”估整體法，極其簡(jiǎn)捷．

解： 本題可用部分估整體法，連EB、EC，則易得

故排除A、B、C，應(yīng)選D

評(píng)注：以部分估整體是指欲求結(jié)論由若干部分(或元素)構(gòu)成時(shí)，研究易求的部分(或元素)而進(jìn)行排除錯(cuò)肢，從而快速選答．

例6若四面體各棱長是1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積的值不可能是　 (　 )

A、　 　B、　 C、　 D、

例7正方體的全面積是，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是()

A. B. C. D.

分析：此題如“不看選項(xiàng)，只看題干”，則變成普通的求解題，可以預(yù)見運(yùn)算量不少，恐怕很難心算而得到結(jié)果，然而將“題目與四選項(xiàng)相結(jié)合”，用范圍來估算，幾乎人人都能一望而答--這就是估算法的魅力．

解：外接球的表面積，比起內(nèi)接正方體的全面積來，自然要大一些，但絕不是它的約6倍(C)或約9倍(D)，也不可能與其近似相等(A)，故選B．

基于選擇題的特點(diǎn)，解選擇題有兩條重要思路：一是肯定一支，二是否定三支 .下面例析如何運(yùn)用此兩條思路，進(jìn)行選擇題的快速選擇

1、 直接選擇法

直接從題設(shè)出發(fā)，通過推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算得出正確的答案再與選擇的答案支對(duì)照比較，從而判定正確選擇支。它一般步驟是：計(jì)算推理、分析比較、對(duì)照選擇。它又可分為兩個(gè)層次：

①直接判定法

有些選擇題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，常可從題目已知入手，利用定義、定理、性質(zhì)、公式直接指出正確答案。多用于解答有關(guān)基本概念或簡(jiǎn)單性質(zhì)辨析的選擇題。

②求解對(duì)照法

對(duì)于涉及計(jì)算或證明的選擇題，有時(shí)可采用求解對(duì)照法。其基本思想是把選擇題當(dāng)作常規(guī)題來解，然后與題目選擇支相對(duì)照，選出正確答案。

例3設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)函數(shù)是，它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)與第二個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，那么第三個(gè)函數(shù)是　 ( C )

(A) (B)　 (C)　 (D)

解：故選(C)

例4、設(shè)都是正數(shù)，且，那么　　　　　　　　　 ( B )

(A)　 (B)　 (C)　 (D)

解：令=k，取對(duì)數(shù)，由

可得，　 故選(B)

從命題的角度來看，一份數(shù)學(xué)試卷中的選擇題都是用直接法求解，決不是一份好試卷，由于選擇題不僅要擔(dān)負(fù)檢測(cè)“三基”的牢固程度，還擔(dān)負(fù)著檢測(cè)學(xué)生的思維敏捷靈活、快速的程度，故常要用到估算法、特例法、直覺思維法等等；從考試角度來看，一位同學(xué)解答一份試卷中的選擇題都用直接法求解，往往導(dǎo)致“小題大作”，也決不會(huì)得到理想的分?jǐn)?shù)，由于在解選擇題過程中用時(shí)過多，就擠掉了后面考慮難題的時(shí)間，就是一種潛在丟分或隱含失分. 因此研究選擇題的得分技巧必須做到：簡(jiǎn)捷快速．如何才能做到“簡(jiǎn)捷快速”，首先要了解選擇題的三個(gè)特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)特征、擔(dān)任角色及解法要求，然后才能有的放矢、抓住要害、獲得簡(jiǎn)解.

選擇題的結(jié)構(gòu)特征與常規(guī)的解答題一樣，有前提因素和結(jié)論因素，但更有自己的獨(dú)特地方，可細(xì)分為四部分.

前提的組成是解題的信息源，它包含了三個(gè)部分：

⑴統(tǒng)一前提--所有的選擇題的共同說明詞，即“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的”. 也就是在四個(gè)選項(xiàng)中“有且只有一個(gè)正確”的單項(xiàng)選擇題.

⑵具體前提--即題干，類似于解答題中的已知條件.

⑶選擇前提--四個(gè)可供選擇的答案，亦稱選項(xiàng)，其中三個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的. 這是一個(gè)獨(dú)特的條件，既有結(jié)論因素，又不象證明題那樣明確指出，但確實(shí)有一個(gè)正確選項(xiàng).

結(jié)論是第四部分，既簡(jiǎn)單又獨(dú)特.

⑷選擇結(jié)論--填上代號(hào)，就是根據(jù)“統(tǒng)一前提”、“具體前提”、“選擇前提”找出結(jié)論的代號(hào).

選擇題的角色要求，對(duì)于知識(shí)要求包括了解、理解、掌握等三個(gè)層次，總體來說屬于基本題，平均得分率0.7左右，具有單、多、廣、活等特點(diǎn)，即內(nèi)容比較單一、數(shù)量比較多、覆蓋面比較廣、題型(取材)比較活潑. 其作用是考查 基礎(chǔ)知識(shí)的的是否理解，基本技能的是否熟練，基本運(yùn)算是否準(zhǔn)確，基本方法是否會(huì)用，考慮問題是否嚴(yán)謹(jǐn)，解題速度是否快捷.

據(jù)近年高考選擇題命題特點(diǎn)是“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”，以及選擇題的結(jié)構(gòu)特征和知識(shí)特征，則其解法要求是要做到“小題小(巧)做”，避免“小題大(難)做”.否則就是潛在丟分或隱含失分.下面舉例說明．

例1(2001年全國高考題) 過點(diǎn)A(1，－1)、B(－1，1)且圓心在直線x+y_－2＝0上的圓方程是( )

(A) (x－3)²+( y+1)²＝4(B) (x+3)²+( y－1)²＝4

(C) (x－1)²+( y－1)²＝4 (D) (x+1)²+( y+1)²＝4

解法1：(小題大做)

設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，得

，解得，故選(C)．

解法2：(小題大做)

設(shè)圓的方程為＝0，根據(jù)題意，得

，解得D＝E＝F＝_－2，故選(C)．

評(píng)注解法1、2是利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程求解與做一道解答題沒有任何區(qū)別，選擇題的特點(diǎn)體現(xiàn)不出來，是“小題大做”．

解法3：(小題小做)

因圓心在直線x+y_－2＝0上，設(shè)圓心為(a，2_－a)，又A、B在圓上，由圓的定義，有

＝

解得a＝1，圓心為(1，1)，排除(A)、(B)、(D)，而選(C)．

解法4：(小題小做)

由選項(xiàng)(B)、(D)的圓心坐標(biāo)不在直線x+y－2＝0上，故排除(B)、(D)；又選項(xiàng)(A)的圓不過點(diǎn)，又排除(A)，故選(C)．

評(píng)注 解法3、4對(duì)知識(shí)的理解程度及選擇題的特點(diǎn)已有所理解，由于四個(gè)選項(xiàng)的半徑相等，只是圓心不同，故只需考慮圓心坐標(biāo)即可，有解法3；解法4是利用逆推驗(yàn)證法．

解法5： (小題巧做)

由選項(xiàng)知，只要估算出圓心所在的象限即可．顯然圓心應(yīng)在線段AB的垂直平分線(即一、三象限的角平分線)上，又在直線x+y－2＝0上，畫草圖知，交點(diǎn)(即圓心)在第一象限內(nèi)，故選(C)．

例2在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，若a₅a₆＝9，則log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₁₀＝()

(A) 12(B) 10(C) 8 (D) 2+log₃5

解法1(小題難做)從已知條件中求出a₁，q(或說a_n的表達(dá)式)，從而逐項(xiàng)求出log₃a₁，log₃a₂，…，log₃a₁₀，再相加．由于條件中a₅a₆＝9不能唯一確定一個(gè)數(shù)列，故此法無法辦到．

解法2(小題大做)由已知9＝a₅a₆＝(a₁q⁴)(a₁ q⁵)＝，則

a₁a₂…a₁₀＝＝＝3¹⁰．

故原式＝log₃(a₁a₂…a₁₀)＝log₃3¹⁰＝10，因而選(B)．

評(píng)注此解法與做一道數(shù)列解答題沒有任何區(qū)別，是典型的“小題大做”．

解法3(小題小做)由已知9＝a₅a₆＝a₄a₇＝a₃a₈＝a₂a₉＝a₁a₁₀，

故原式＝log₃(a₅a₆)⁵＝log₃3¹⁰＝10，因而選(B)．

評(píng)注此解法對(duì)等差數(shù)列知識(shí)的理解有所深化，但仍沒有充分利用選擇題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和回答方式上的特點(diǎn)．

解法4(小題巧做)由結(jié)論暗示，不管數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是什么(有無窮多個(gè))，答案都是唯一的，故只需取一個(gè)滿足條件的特殊數(shù)列a_n＝3，知選(B)．

從上面兩例可以看出，解題是有技巧可言，不同方法技巧的選擇，會(huì)影響解題的速度. 小題巧(小)解能節(jié)省大量時(shí)間，能在一二分鐘內(nèi)解決問題, 甚至是十幾秒. 如何才能做到此點(diǎn)，下面例析快速選擇技巧．

8.在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，用向量方法證明：DEBC.

7.已知ABCD為矩形，且AD=2AB，又△ADE為等腰直角三角形，F為ED的中點(diǎn)， =e₁,=e₂以e₁,e₂為基底，試表示向量、、及.

6.已知向量a=(x+3,x²-3x-4)與相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求實(shí)數(shù)x的值.

5.已知α、β是實(shí)數(shù)，a,b是不共線的向量，若(2α+β-4)a+(α-3β)b=0，則α=_________,β=_________.

4.D、E、F分別是△ABC邊AB、BC、CA上的中點(diǎn)(如圖)，則等式

(1)=0;

(2)=0;

(3)=0;

(4)=0;

　其中正確的是_________.

3.下面給出四個(gè)命題：

(1)對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a、b恒有：

m(a-b)=ma-mb;

(2)對(duì)于實(shí)數(shù)m,n和向量a，恒有：

(m-n)a=ma-na;

(3)若ma=mb(m∈R),則a=b;

(4)若ma=na(m,n∈R,a≠0),則m=n.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是

A.1　　　　　　　　　　　　　　　 B.2　　　　　　　　　　　　　　　 C.3　　　　　　　　 　　　 D.4

2.已知△ABC中，AB=AC，DE是兩腰上的中位線，則下列結(jié)論正確的是

A.共線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.相等

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.相等