新課標同步單元練習八年級數學北師大版深圳專版
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6. $\sqrt{a^2}=|a|$是二次根式的一條重要性質。請利用該性質解答以下問題：
(1)化簡：$\sqrt{2^2}=$______，$\sqrt{(-3)^2}=$______，$\sqrt{(3 - \pi)^2}=$______；
(2)已知實數$a$，$b$，$c$在數軸上的對應點如圖2-3-2所示，化簡$\sqrt{a^2}-|c - a|+\sqrt{(b - c)^2}$。
（數軸：$a$在最左側，接著是$b$，然后是$0$，最右側是$c$）
答案：(1) 2；3；$\pi - 3$
解析：$\sqrt{2^2}=|2|=2$；$\sqrt{(-3)^2}=|-3|=3$；$\sqrt{(3 - \pi)^2}=|3 - \pi|=\pi - 3$（因為$\pi＞3$）
(2) $-b$
解析：由數軸知$a＜0$，$c - a＞0$，$b - c＜0$。$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，$|c - a|=c - a$，$\sqrt{(b - c)^2}=|b - c|=c - b$。原式$=-a-(c - a)+(c - b)=-a - c + a + c - b=-b$
二、拓展性作業
1. 根據學習“數與式”積累的經驗，我們可以通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律，觀察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{3 + 1}{3}}=\sqrt{4×\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{8 + 1}{4}}=\sqrt{9×\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{15 + 1}{5}}=\sqrt{16×\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$。
(1)請舉出一個符合上述運算規律的例子：______；
(2)如果$n$為正整數，用含$n$的式子表示上述運算規律為______；
(3)用上述運算規律計算：$\sqrt{2024+\frac{1}{2026}}×\sqrt{4052}$。
答案：(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$（答案不唯一）
解析：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{24 + 1}{6}}=\sqrt{25×\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$
解析：左邊$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n(n + 2)+1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n^2 + 2n + 1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^2}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$
(3) 2025$\sqrt 2$
解析：由規律得$\sqrt{2024+\frac{1}{2026}}=2025\sqrt{\frac{1}{2026}}$，則原式$=2025\sqrt{\frac{1}{2026}}×\sqrt{4052}=2025\sqrt{\frac{4052}{2026}}=2025\sqrt{2}$
