新課標(biāo)同步單元練習(xí)八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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1. 我們知道，二次根式乘除法有如下性質(zhì)：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b＞0)$，那么二次根式加法是否具有類似性質(zhì)呢？請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)下列問題開啟探索之旅：
(1)請(qǐng)你舉些例子比較$\sqrt{a}+\sqrt{b}$與$\sqrt{a + b}(a\geq0,b\geq0)$的大小，并提出猜想；（至少舉 3 例）
(2)請(qǐng)利用學(xué)過的知識(shí)說明你的猜想。
答案：(1)例子：當(dāng)$a = 1$，$b = 1$時(shí)，$\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$，$\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}\approx1.414$，$2＞\sqrt{2}$；當(dāng)$a = 2$，$b = 2$時(shí)，$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx2.828$，$\sqrt{2 + 2}=2$，$2\sqrt{2}＞2$；當(dāng)$a = 0$，$b = 0$時(shí)，$\sqrt{0}+\sqrt{0}=0$，$\sqrt{0 + 0}=0$，$0 = 0$。猜想：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a + b}(a\geq0,b\geq0)$，當(dāng)且僅當(dāng)$a = 0$或$b = 0$時(shí)等號(hào)成立。
(2)證明：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a + 2\sqrt{ab}+b$，$(\sqrt{a + b})^{2}=a + b$，因?yàn)?a\geq0$，$b\geq0$，所以$2\sqrt{ab}\geq0$，則$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}\geq(\sqrt{a + b})^{2}$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a + b}$。
2. 鵬鵬在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，例如，$3 + 2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2}$，于是鵬鵬進(jìn)行了以下探索：設(shè)$p + q\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^{2}$（其中$p$，$q$，$m$，$n$均為正整數(shù)），則有$p + q\sqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt{2}$（有理數(shù)和無理數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等），所以$p = m^{2}+2n^{2}$，$q = 2mn$，這樣鵬鵬就找到了一種把式子$p + q\sqrt{2}$化為平方式的方法。請(qǐng)你仿照鵬鵬的方法解決下列問題：
(1)當(dāng)$a$，$b$，$c$，$d$均為正整數(shù)時(shí)，若$a + b\sqrt{3}=(c + d\sqrt{3})^{2}$，用含$c$，$d$的式子分別表示$a$，$b$，$a=$________，$b=$________；
(2)若$x + 4\sqrt{7}=(m + n\sqrt{7})^{2}$，當(dāng)$x$，$m$，$n$均為正整數(shù)時(shí)，求$x$的值；
(3)化簡：$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$。
答案：(1)$c^{2}+3d^{2}$，$2cd$
解析：$(c + d\sqrt{3})^{2}=c^{2}+2cd\sqrt{3}+3d^{2}$，則$a = c^{2}+3d^{2}$，$b = 2cd$。
(2)11 或 29
解析：$(m + n\sqrt{7})^{2}=m^{2}+2mn\sqrt{7}+7n^{2}$，則$2mn = 4$，$mn = 2$，$m$，$n$為正整數(shù)，$m = 1$，$n = 2$時(shí)，$x = 1^{2}+7×2^{2}=1 + 28 = 29$；$m = 2$，$n = 1$時(shí)，$x = 2^{2}+7×1^{2}=4 + 7 = 11$
(3)$\sqrt{5}-2$
解析：$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-2)^{2}}=\sqrt{5}-2$（因?yàn)?\sqrt{5}＞2$）。
