新課標同步單元練習八年級數學北師大版深圳專版
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1. 在$\triangle ABC$中，$AB = 20$，$AC = 13$，高$AD = 12$，則$\triangle ABC$的面積為______。
答案：66或126
解析：當$AD$在$\triangle ABC$內部時，$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 256$，$BD = 16$；$DC^2 = AC^2 - AD^2 = 13^2 - 12^2 = 25$，$DC = 5$，$BC = BD + DC = 21$，面積$= \frac{21 × 12}{2} = 126$。當$AD$在外部時，$BC = BD - DC = 16 - 5 = 11$，面積$= \frac{11 × 12}{2} = 66$。
2. 如圖1-1-5①，分別以$Rt\triangle ABC$三條邊為邊向外作正方形，其面積分別用$S_1$，$S_2$，$S_3$表示，則不難證明$S_1 = S_2 + S_3$。【類比探究】(1)如圖1-1-5②，分別以$Rt\triangle ABC$三條邊為直徑向外作半圓，其面積分別用$S_1$，$S_2$，$S_3$表示，請寫出$S_1$，$S_2$，$S_3$之間滿足的等量關系，并說明理由。
答案：$S_1 = S_2 + S_3$
解析：設$Rt\triangle ABC$三邊為$a$，$b$，$c$（$c$為斜邊）。半圓面積$S = \frac{1}{2}\pi r^2$，半徑為邊長的一半，則$S_2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{8}$，$S_3 = \frac{\pi b^2}{8}$，$S_1 = \frac{\pi c^2}{8}$。因為$a^2 + b^2 = c^2$，所以$S_2 + S_3 = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} = \frac{\pi c^2}{8} = S_1$。
【探究應用】(2)如圖1-1-5③，分別以$Rt\triangle ABC$三條邊為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別用$S_1$，$S_2$，$S_3$表示，則$S_1$，$S_2$，$S_3$之間滿足的等量關系是______。
答案：$S_1 = S_2 + S_3$
解析：等腰直角三角形以斜邊$m$為邊時，面積$S = \frac{m^2}{4}$。則$S_2 = \frac{a^2}{4}$，$S_3 = \frac{b^2}{4}$，$S_1 = \frac{c^2}{4}$。因為$a^2 + b^2 = c^2$，所以$S_2 + S_3 = \frac{a^2 + b^2}{4} = \frac{c^2}{4} = S_1$。
【拓展應用】(3)如圖1-1-5④，四邊形ABCD的對角線互相垂直，現以四邊形ABCD的四條邊為外作正方形，其面積分別為$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$。請寫出$S_1$，$S_2$，$S_3$和$S_4$之間滿足的關系，并說明理由。
答案：$S_1 + S_3 = S_2 + S_4$
解析：設對角線交于$O$，$AO = m$，$OC = n$，$BO = p$，$OD = q$。則$S_1 = AB^2 = m^2 + p^2$，$S_2 = BC^2 = p^2 + n^2$，$S_3 = CD^2 = n^2 + q^2$，$S_4 = DA^2 = q^2 + m^2$。$S_1 + S_3 = m^2 + p^2 + n^2 + q^2$，$S_2 + S_4 = p^2 + n^2 + q^2 + m^2$，故$S_1 + S_3 = S_2 + S_4$。
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