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6.求分別滿足下列條件的直線l的方程：

(1)直線l過點A(1，-2)，且點B(2，1)到l的距離等于1；

(2)過點M(-1，2)作直線l，使點A(-3，4)和B(1，-2)到l的距離相等；

(3)直線l過點P(-3，4)，且在兩坐標軸上的截距相等.

5.已知直線ax+3y+1=0與直線x+(a-2)y+a=0，當a=_________時，兩直線平行；當a＝_________時，兩直線重合；當a∈_________時，兩直線相交.

4.已知兩點A(cos70°，cos20°)、B(sin80°，sin10°)，則直線AB的傾斜角是_________.

3.點M(1，3)，N(5，-2)，點P在x軸上，使|PM|－|PN|取最大值的點P的坐標為

A.(4，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(13，0)

C.(5，0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(1，0)

2.如果AC＜0,且BC＜0，那么直線Ax+By+C=0不通過

A.第一象限　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.第二象限　　　　　　　　　

C.第三象限　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.第四象限

1.下列命題中是真命題的是

A.經過定點P₀(x₀，y₀)的直線都可以用方程y－y₀＝k(x－x₀)表示

B.經過任意兩個不同的點P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)的直線都可以用方程(y－y₁)(x₂－x₁)＝(x－x₁)(y₂－y₁)表示

C.不經過原點的直線都可以用方程＝1表示

D.經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx+b表示

(三)解答題

20.正方形中心為G(-1，0)，一邊所在直線的斜率為3，且此正方形的面積為14.4，求這正方 形各邊所在直線的方程.

21.已知在△ABC的邊上運動的點D、E、F在t=0時分別從A、B、C出發，各以一定的速度向B、 C、A前進，在t=1時分別達到B、C、A，試證明在運動過程中，△DEF的重心是一個定點.

22.一條光線從點M(5，3)射出，被直線l∶x+y=1反射，入射光線到直線l的角為β，已知tgβ=2，求入射光線與反射光線所在直線的方程.

23.用解析法證明三角形內角平分線性質定理.

24.已知點P(6，8)，過P點作直線PA⊥PB分別交x軸正半軸、y軸正半軸于A、B兩點。

①求線段AB的中點的軌跡。

②若△AOB面積等于△APB面積，求此時直線PA與直線PB的方程。

25.已知動點P(x,y)在以A(π，0)、B(-，-)為兩端點的線段上移動，且sinx+sin2y=0。求點P的坐標。

(二)填空題

16.兩條平行直線2x-7y+8=0和2x-7y-8=0間的距離是　　　　　　　　　 .

17.如果直線l₁、l₂的斜率分別是二次方程x²-4x+1＝0的兩根，那么l₁與l₂所成 角的大小是　　　　　　　　　　 .

18.直線y=-x+b和5x+3y-31=0的交點在第一象限，那么b的范圍是　　　　　　 .

19.已知點P是直線l上一點，將直線l繞點P沿逆時針方向旋轉角α(0°＜α＜90°，所得直 線的方程是x-y-2=0，若將它繼續為轉90°-α，所得直線的方程2x+y-1=0，則直線l的方程為　　　　　　 .

(一)選擇題

1.直線Ax+By+C=0通過第一、二、三象限，當且僅當(　　 )

A.A·B＞0，A·C＞0 　　　　　B.A·B＞0，A·C＜0

C.A·B＜0，A·C＞0　　　　　 D.A·B＜0，A·C＜0

2.已知點M(3，4)，N(12，7)，P在直線MN上，且，則點P的坐標是(　　 )

A.(6，5)　　　　　　　 B.(9，6)

C.(0，3)　　　　　　　 D.(0，3)或(6，5)

3.已知點A(3，3)，B(-1，5)，直線y=ax+1與線段AB有公共點，則實數a應滿足的條件是(　　 )

A.a∈［-4，］　　　　　 　　　　　　　B.a≠-

C.a∈［-4，］∪(-，)　　　　　 D.a∈(-∞，-4)∪(，+∞］

4.方程│x-1│+y=1確定的曲線與x軸圍成的圖形的面積是(　　 )

A. 　　　B.1　　　 C.2　　　 D.4

5.過點(2，3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是(　　 )

A.x+y=5　　　　　　　　 　　B.3x-2y=0

C.x+y=5或3x-2y=0　　　　　 D.4x-y=5

6.直線l過點P(3，2)，與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，O是坐標原點，當△AOB面積為最 小值時，直線l的方程是(　　 )

A.x-y-1=0　　　　　　　　　 B.x+y-5=0

C.2x+3y-12=0　　　　　　　 D.3x+2y-13=0

7.如果直線Ax+By+C=0的傾斜角是一銳角，且在y軸上的截距大于零，則(　　 )

A.AB＞0，AC＞0　　　　 　　B.AB＞0，AC＜0

C.AB＜0，AC＞0　　　　 　　D.AB＜0，AC＜0

8.下列各點中，不與P(4，3)、Q(-1，6)兩點共線的點是(　　 )

A.(5，6)　　　　　 　　　　B.(2，-3)

C.(3t，t+3)(這里t∈Z)　 　　D.(t+3，3t)(這里t∈Z)

9.兩條不重合的直線mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的充要條件是(　　 )

A.m=1，n=1　　　　　　　　 B.m=-1，n=-1

C.m=1,n≠-1,或m=-1,n≠1　 D.m≠±1，n≠±1

10.與直線2x+3y-6=0關于點(1，-1)對稱的直線是(　　 )

A.3x-2y+2=0　　　　　 B.2x+3y+1=0

C.3x-2y-12=0　　　　 D.2x+3y+8=0

11.已知0≤θ≤，且點(1，cosθ) 到直線xsinθ+ycosθ=1的距離等于 ，則θ等于(　　 )

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

12.已知直線l₁∶x-2y-6=0，l₂∶3x-y+4=0下列說法中錯誤的是(　　 )

A.l₁與l₂的夾角是45°　 　　　　B.l₁到l₂的角是45°

C.l₂到l₁的夾角是45°　　　　　 D.l₂到l₁的角是135 °

13.若a²+b²=c²，則直線ax+by+c=0被圓x²+y²=2所截的弦長等于(　　 )

A.1　　　　 B.2　　　　 C.　　　　 D.2

14.△ABC中，B(-a,0)、C(a,0)，且兩底角的正切的乘積為定值k(k＞0)，則頂點A的軌跡方 程是(　　 )

A.kx²+y²=ka²(y≠0)　　　　　 B.kx²-y²=ka²(y≠0)　　

C.x²+ky²=ka²(y≠0)　　　　　 D.x²-ky²=ka²(y≠0)

15.設點A(-1，2)，B(2，-2)，C(0，3)，且M(a，b)是線段AB上的一點(a≠0)，則直線MC的 斜率的取值范圍是(　　 )

A.［-，1］　　　　　　 B.［-1， ］

C.［-，0］∪(0，1)　　　 D.(-∞ ，-)∪(1，+∞)

(四)綜合例題賞析

例4設點P在有向線段AB的延長線上，P分AB所在的比為λ，則　 (　　 )

A.λ＜-1　　　　　　 B.-1＜λ＜0

C.0＜λ＜1　　　　　 D.λ＞1

解　 由已知有λ＝因為與的方向相反，且｜｜＞｜｜，

所以λ＝?｜｜＜-1，

應選A。

例5　 和直線3x-4y+5=0關于x軸對稱的直線方程是(　　 )

A.3x+4y-5=0 　　　　　B.3x+4y+5=0

C.-3x+4y-5=0　　　　　 D.-3x+4y+5=0

解：　 若曲線c的方程f(x,y)=0，曲線c和c′關于x軸對稱，則曲線c′的方程是f(x，-y)=0.

∴3x-4(-y)+5=0即3x+4y+5=0為所求.

應選B.

例6　 如圖，設圖中直線l₁，l₂，l₃的斜率分 別為k₁，k₂，k₃，則(　　 )

A.k₁＜k₂＜k₃　　　　　 B.k₃＜k₁＜k₂

C.k₃＜k₂＜k₁　　　　　 D.k₁＜k₁＜k₂

解　 顯然k₁＜0，0＜k₃＜k₂

于是應選D.

例7　 如果直線y=ax+2與直線y=3x-b關于直線y=x對稱，那么(　　 )

A.a=,b=6　　　　　 B.a=,b=-6　　　 　　C.a=3,b=-2　　　　　 D.a=3,b=6

解　 C₁的方程是f(x,y)=0,C₂和C₁關于直線y=x對稱，則C₂的方程是f(y,x)=0.

于是直線y=ax+2關于直線y=x對稱的直線的方程是x=ay+2,即y=.

由題設y=和y=3x-b是同一條直線，

所以，解得

從而應選A.

例8　 通過點(0，2)且傾斜角為15°的直線方程是(　　 )

A.y=(-2)x+2　　　　　 B.y=(-1)x+2

C.y=(2-)x+2　　　　　 D.y=(-1) x+2

解：　 ∵直線通過點(0，2).

∴直線在y軸上的截距b=2.

∵直線的傾角為15°，

∴直線的斜率k=tg15°=.

把k=2-，b=2代入直線的斜截式方程y=kx+b，得y=(2-)x+2 .

應選C.

例9　 直線3x-2y=6在y軸上的截距是(　　 )

A.　　 B.-2　　 C. -3　　 D.3

解：　 ∵3x-2y=6y=-+=1，

又直線的截距為=1，

∴b=-3，即在y軸上的截距為-3.

應選C.

例10　 如果直線ax+2y+2=0與直線3x-y-2=0平行，那么 系數a=(　　 )

A.-3　　 B.-6　　 C.-　　 D.

解：l₁:A₁x+B₁y+C₁=0，l₂:A₂x+B₂y+C₂=0，且A₂≠0，B₂≠0，C₂≠ 0，則有

l₁∥l₂

∴由題設有=a=- 6.

應選B.

例11　 兩條直線A₁x+B₁y+C₁=0,A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要條件是 (　　 )

A.A₁A₂+B₁B₂＝0　　　　　 B.A₁A₂-B₁B₂＝0

C.＝-1　　　　　 D.

解　 若B₁B₂＝0，不妨設B₁＝0，則直線l₁∶A₁x+C₁=0，l₁是垂直與x軸的直 線，由于l₁⊥l₂，所以l₂是垂直y軸的直線，從而l₂∶B₂y+C₂=0，即A₂=0

故　 A₁A₂+B₁B₂＝0

若B₁B₂≠0，則l₁和l₂的方程可化為y=-,y=-,得k₁＝-，k₂＝-,

由l₁⊥l₂k₁·k₂=-1·＝-1A₁A₂+B₁B₂＝0.

綜上有若l₁⊥l₂，則A₁A₂+B₁B₂＝0

反之，若A₁A₂+B₁B₂＝0

1°A₁A₂≠0B₁B₂≠0A₁A₂＝-B₁B₂＝-·

＝-1()·()＝-1，

即k₁·k₂＝-1

所以l₁⊥l₂.

2°若A₁·A₂＝0，不妨設A₁＝0，且A₂≠0，則B₁≠0且B₁·B₂＝0B₂＝0 ，

所以l₁∶B₁y+C₁=0,是垂直y軸的直線；

　　 l₂∶A₂x+C₂=0,是垂直x軸的直線；

于是l₁⊥l₂

又若A₁＝0且A₂＝0則l₁∶B₁y+C₁=0,l₂∶B₂y+C₂=0,則l₁∥l₂，此與

l₁⊥l₂矛盾.

綜上有　 若A₁A₂+B₁B₂＝0，則l₁⊥l₂

綜合(1)、(2)知，l₁⊥l₂A₁A₂＝B₁B₂＝0

故應選A.

例12　 如果直線ax+2y+1=0與直線x+y-2=0互相垂直，那么a 的值等于(　　 )

A.1　　 B.-　　 C. -　　 D.-2

解：兩直線l₁:A₁x+B₁y+C₁=0，l₂:A₂x+B₂y+C₂=0，互相垂直的充要條件是 ：

A₁A₂+B₁B₂=0

∴由題設得a·1+2·1=0，從而a=-2.

應選D.

例13　 點P(2，5)關于直線x+y=0的對稱點的坐標是(　　 )

A.(5，2)　　　　　　 B.(2，-5)

C.(-5，-2)　　 　　　D.(-2，-5)

解：設P(2，5)和Q(m，n)關于直線y=-x對稱，則PQ中點R(，)在y=-x上，且K_PQ·(-1)=-1.

∴，解得

∴對稱點Q的坐標是(-5，-2).

應選C.

例14　 原點關于直線8x+6y=25的對稱點坐標是(　　 )

A.(2，) 　　　　　　B.(，)

C.(3，4)　　　　 　　D.(4，3)

解：設(m，n)為所求，則

解得m=4，n=3

∴應選D.

例15　 在直角坐標中，△ABC的三個頂點是：A(0，3)，B(3，3)，C(2 ，0)，若直線x=a，將△ABC分割成面積相等的兩部分，則實數a的值是(　　 )

A.　 　　B.1+　　　 C.1+　　　 D.2-

解　 如圖

易知直線AC的方程是y=3，直線AC的方程是＝1，即3x+ 2y=6.

設直線x=a與AB交于D，與AC交于E，則D，E的坐標分別為D(a,3),E(a,)

從而｜DE｜=3-=a

S_△ADE＝AD·DE＝a·a=a²　　　　　 (1)

又S_△ABC＝·3·＝，

S_△ADE＝·S_△ACB＝，　　 　　　　　　　　(2)

由(1)，(2)有a²＝，解得a=

應選A.

例16　 以A(1，3)、B(-5，1)為端點的線段垂直平分線的方程是(　　 )

A.3x-y+8=0　　　　　 B.3x+y+4=0

C.2x+y+2=0　　　　　 D.3x+y+8=0

解：設P(x，y)為線段AB的中垂線上的點，

則│PA│=│PB│

即，化簡得3x+y+4= 0.

應選B.

例17　 在直角坐標系xoy中，過點P(-3，4)的直線1與直線OP的夾角為45°， 求1的方程.

解：設1的斜率為k，k_OP=-，

∴tg45°=││=││=││，

得=±1，解出k=-，7

∴1的方程為y-4=-(x+3)或y-4=7(x+3).

即1的方程為x+7y-25=0或7x-y+25=0.

例18　 點(0，1)到直線x+y=2的距離是　　　　　　 .

解：d=

[同步達綱練習]