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題型1：求最大公約數

例1．(1)用輾轉相除法求123和48的最大公約數？

(2)用更相減損來求80和36的最大公約數？

解析：(1)輾轉相除法求最大公約數的過程如下：(建立帶余除式)

　123＝2×48+27

　48＝1×27+21

　27＝1×21+6

　21＝3×6+3

　6＝2×3+0

最后6能被3整除，得123和48的最大公約數為3。

(2)分析：我們將80作為大數，36作為小數，執行更相減損術來求兩數的最大公約數。執行結束的準則是減數和差相等

更相減損術：

因為80和36都是偶數，要去公因數2。

80÷2=40，36÷2=18；

40和18都是偶數，要去公因數2。

40÷2=20，18÷2=9

下面來求20與9的最大公約數，

20－9=11

11－9=2

9－2=7

7－2=5

5－2=3

3－2=1

2－1=1

可得80和36的最大公約數為2²×1=4。

點評：對比兩種方法控制好算法的結束，輾轉相除法是到達余數為0，更相減損術是到達減數和差相等。

例2．設計一個算法，求出840與1764的最大公因數。

解析：我們已經學習過了對自然數的素因數分解的方法，下面的算法就是在此基礎上設計的。

解題思路如下：

首先對兩個數進行素因數分解：

840=2³×3×5×7，1764=2²×3²×7²_，

其次，確定兩個數的公共素因數：2，3，7。

接著確定公共素因數的指數：對于公共素因數2，840中為2³，1764中為2²，應取較少的一個2²，同理可得下面的因數為3和7。

算法步驟：

第一步：將840進行素數分解2³×3×5×7；

第二步：將1764進行素數分解2²×3²×7²；

第三步：確定它們的公共素因數：2，3，7；

第四步：確定公共素因數2，3，7的指數分別是：2，1，1；

第五步：最大公因數為2²×3¹×7¹=84。

點評：質數是除1以外只能被1和本身整除的正整數，它應該是無限多個，但是目前沒有一個規律來確定所有的質數

題型2：秦九韶算法

例3．(2009福州模擬)如果執行右面的程序框圖，那么輸出的　　　　　　　　　　 (　　　 )

A．22　　　　　　　　　 B．46　　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．190

答案　 C

2、(2009浙江卷理)某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的的　　

值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　 B．　　　　　 C．　　　　 D．

[解析]對于，而對于，則　

，后面是，不　

符合條件時輸出的．

答案 A

4．進位制

(1)概念

進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用數字符號的個數稱為基數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。現在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。

對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數，那么以k為基數的k進制可以表示為：

，

而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001₍₂₎表示二進制數,34₍₅₎表示5進制數。

(2)進位制間的轉換

關于進位制的轉換，教科書上以十進制和二進制之間的轉換為例講解，并推廣到十進制和其它進制之間的轉換。這樣做的原因是，計算機是以二進制的形式進行存儲和計算數據的，而一般我們傳輸給計算機的數據是十進制數據，因此計算機必須先將十進制數轉換為二進制數，再處理，顯然運算后首次得到的結果為二進制數，同時計算機又把運算結果由二進制數轉換成十進制數輸出。

非十進制數轉換為十進制數比較簡單，只要計算下面的式子值即可：

第一步：從左到右依次取出k進制數各位上的數字，乘以相應的k的冪，k的冪從n開始取值，每次遞減1，遞減到0，即；

第二步：把所得到的乘積加起來，所得的結果就是相應的十進制數。

十進制數轉換成非十進制數

把十進制數轉換為二進制數，教科書上提供了“除2取余法”，我們可以類比得到十進制數轉換成k進制數的算法“除k取余法”。

非十進制之間的轉換

一個自然的想法是利用十進制作為橋梁。教科書上提供了一個二進制數據與16進制數據之間的互化的方法，也就是先有二進制數轉化為十進制數，再由十進制數轉化成為16進制數。

7．將新數據列中的第7個數97與右邊相鄰的數49進行比較，因為49<97，97應下沉，所以順序改變，得到新的數據列：

{38，49，65， 76， 13，97， 49，27}

我們把上述過程稱為一趟排序。其基本特征是最大的數據沉到底，即排在最左邊位置上的數據是數組中最大的數據。反復執行上面的步驟，就能完成排序工作，排序過程不會超過7趟。這種排序的方法稱為冒泡排序。

上面的分析具有一般性，如果數據列有n個數據組成，至多經過n－1趟排序，就能完成整個排序過程

6．將新數據列中的第6個數97與右邊相鄰的數27進行比較，因為27<97，97應下沉，所以順序改變，得到新的數據列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

5．將新數據列中的第5個數97與右邊相鄰的數13進行比較，因為13<97，97應下沉，所以順序改變，得到新的數據列：

{38，49，65， 76， 13，97，27，49}

4．將新數據列中的第4個數97與右邊相鄰的數76進行比較，因為76<97，97應下沉，所以順序不變，得到新的數據列：

{38，49，65， 76，97，13，27，49}

3．將新數據列中的第3個數65與右邊相鄰的數97進行比較，因為97>65，所以順序不變，得到新的數據列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

2．將新數據列中的第2個數49與右邊相鄰的數65進行比較，因為65>49，所以順序不變，得到新的數據列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}

1．將第1個數與右邊相鄰的數38進行比較，因為38<49，49應下沉，即向右移動，所以交換他們的位置，得到新的數據列：

{38，49，65，97，76，13，27，49}