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(17)(本小題滿分12分)

已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．

(Ⅰ)若a⊥b，求θ；

(Ⅱ)求｜a+b｜的最大值．

(18)(本小題滿分12分)

某批產品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產品進行檢驗．設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．

(Ⅰ)用ξ表示抽檢的6件產品中二等品的件數，求ξ的分布列及ξ的數學期望；

(Ⅱ)若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品級用戶拒絕的概率．

(19)(本小題滿分12分)

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分別為BB₁、AC₁的中點．

(Ⅰ)證明：ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線；

(Ⅱ)設AA₁＝AC＝AB，求二面角A₁－AD－C₁的大小．

(20)(本小題滿分12分)

設函數f(x)＝(x+1)ln(x+1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍．

(21)(本小題滿分14分)

已知拋物線x²＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且＝λ(λ＞0)．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．

(Ⅰ)證明·為定值；

(Ⅱ)設△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．

(22)(本小題滿分12分)

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根為S_n－1，n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)求a₁，a₂；

(Ⅱ){a_n}的通項公式．

普通高等學校招生全國統一考試

(13)在(x⁴+)¹⁰的展開式中常數項是　　　　　　　 (用數字作答)

(14)已知△ABC的三個內角A、B、C成等差數列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為　　　　　　　　 ．

(15)過點(1，)的直線l將圓(x－2)²+y²＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝　　　　　　 ．

(16)一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10 000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖(如下圖)．為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關系，要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，則在［2500，3000)(元)月收入段應抽出　　　　　　　 人．

(1)已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log₂x＞1}，則M∩N＝

(A)　　　　　　　　　　　　 (B){x|0＜x＜3}

(C){x|1＜x＜3}　　　　　　　　 (D){x|2＜x＜3}

(2)函數y＝sin2xcos2x的最小正周期是

(A)2π　　　　　 (B)4π　　　　 (C)　　　　　 (D)

(3)＝

(A)i　　　　　 (B)－i　　　　 (C)　　　　　 (D)－

(4)過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　　 (D)

(5)已知△ABC的頂點B、C在橢圓+y²＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是

(A)2　　　　　　 (B)6　　　　　 (C)4　　　　 (D)12

(6)函數y＝lnx－1(x＞0)的反函數為

(A)y＝e^x+1(x∈R)　　　　　　　　　　　 (B)y＝e^x－1(x∈R)

(C)y＝e^x+1(x＞1)　　　　　　　　　　　　 (D)y＝e^x－1(x＞1)

(7)如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，則AB∶A′B′＝

(A)2∶1　　　　　　　 (B)3∶1

(C)3∶2　　　　　　　 (D)4∶3

(8)函數y＝f(x)的圖像與函數g(x)＝log₂x(x＞0)的圖像關于原點

對稱，則f(x)的表達式為

(A)f(x)＝(x＞0)　　　　　 (B)f(x)＝log₂(－x)(x＜0)

(C)f(x)＝－log₂x(x＞0)　　　　 (D)f(x)＝－log₂(－x)(x＜0)

(9)已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為

(A)　　　　　　 (B)　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

(10)若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝

(A)3－cos2x　　　　 (B)3－sin2x　　　　 (C)3+cos2x　　　 (D)3+sin2x

(11)設S_n是等差數列{a_n}的前n項和，若＝，則＝

(A)　　　　　 (B)　　　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

(12)函數f(x)＝的最小值為

(A)190　　　　　 (B)171　　　　　　 (C)90　　　　 (D)45

絕密★啟用前

普通高等學校招生全國統一考試數學103

第Ⅱ卷

(本卷共10小題，共90分)

22. 解: f ' (x)=3x²－2ax+(a²－1),其判別式△=4a²－12a²+12=12－8a².

(ⅰ)若△=12－8a²=0,即 a=±, 當x∈(－∞,), 或x∈( , +∞)時, f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)為增函數. 所以a=±.

　(ⅱ)若△=12－8a²<0, 恒有f '(x)>0, f(x)在(－∞,+ ∞)為增函數, 所以a²> ,

即 a∈(－∞,－ )∪( , +∞)

(ⅲ)若△12－8a²>0,即－ <a<, 令f '(x)=0, 解得 x₁=, x₂=.

當x∈(－∞,x₁),或x∈(x₂,+ ∞)時, f '(x)>0, f(x)為增函數; 當x∈(x₁,x₂)時 , f '(x)<0,f(x)為減函數. 依題意x₁≥0且x₂≤1. 由x₁≥0得a≥,解得 1≤a<

由x₂≤1得≤3－a, 解得 － <a< , 從而 a∈[1, )

綜上,a的取值范圍為(－∞,－ ]∪[ , +∞) ∪[1, ),即a∈(－∞,－ ]∪[1,∞).

21. 解: 依題意可設P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因為Q在橢圓上,

所以,x²=a²(1－y²) , |PQ|²= a²(1－y²)+y²－2y+1=(1－a²)y²－2y+1+a²

　　　 =(1－a²)(y－ )²－+1+a² .

因為|y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當y=時, |PQ|取最大值;

若1<a<,則當y=－1時, |PQ|取最大值2.

20.解法一: (Ⅰ)由已知l₂⊥MN, l₂⊥l₁ , MN∩l₁ =M, 可得l₂⊥平面ABN.由已知MN⊥l₁ , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN為AC在平面ABN內的射影.

∴AC⊥NB

(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC為正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC內的射影H是正三角形ABC的中心,連結BH,∠NBH為NB與平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .

解法二: 如圖,建立空間直角坐標系M－xyz.令MN=1, 則有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)∵MN是 l₁、l₂的公垂線, l₁⊥l₂, ∴l₂⊥平面ABN. l₂平行于z軸. 故可設C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,－1,0). ∴·=1+(－1)+0=0　 ∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).

連結MC,作NH⊥MC于H,設H(0,λ, λ) (λ>0). ∴=(0,1－λ,－λ),

=(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,

∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 連結BH,則=(－1,, ),

∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,

∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),

∴cos∠NBH= = 　=

19. 解: (1)設A_i表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依題意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率為: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)所求概率為: P=1－(1－)³=

18.解: 由A+B+C=π, 得 = － , 所以有cos =sin .

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin² + 2sin

=－2(sin － )²+

當sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為

17.解: 設等比數列{a_n}的公比為q, 則q≠0, a₂= = , a₄=a₃q=2q

所以 + 2q= , 解得q₁= , q₂= 3,

當q₁=, a₁=18.所以 a_n=18×()^n－1= = 2×3^3－n.　

當q=3時, a₁= , 所以a_n=×3n－1=2×3^n－3.

⒄、(本小題滿分12分)

已知為等比數列，，求的通項式。

⒅、(本小題滿分12分)

的三個內角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。

⒆、(本小題滿分12分)

A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。

(Ⅰ)求一個試驗組為甲類組的概率；

(Ⅱ)觀察3個試驗組，求這3個試驗組中至少有一個甲類組的概率。

⒇、(本小題滿分12分)

如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點A、B在上，C在上，。

(Ⅰ)證明⊥；

(Ⅱ)若，求與平面ABC所成角的余弦值。

(21)、(本小題滿分12分)

設P是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值。

(22)、(本小題滿分14分)

設為實數，函數在和都是增函數，求的取值范圍。

全國卷Ⅰ文答案