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(15)(本小題共12分)

　　 已知=2，求

(I)的值；　 (II)的值．

(16)(本小題共14分)

　　 如圖, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

　 (I)求證：AC⊥BC₁；

　 (II)求證：AC ₁//平面CDB₁；

　 (III)求異面直線 AC₁與 B₁C所成角的余弦值．

(17)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求

　 (I)a₂，a₃，a₄的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

　 (II)的值.

(18)(本小題共13分)

　　　 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率，

　 (I)甲恰好擊中目標(biāo)的2次的概率；

　 (II)乙至少擊中目標(biāo)2次的概率；

　 (III)求乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率．

(19)(本小題共14分)

　　 已知函數(shù)f(x)=－x³+3x²+9x+a,

(I)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

(20)(本小題共14分)

　　 如圖，直線 l₁：y＝kx(k>0)與直線l₂：y＝－kx之間的陰影區(qū)域(不含邊界)記為W，其左半部分記為W₁，右半部分記為W₂．

(I)分別用不等式組表示W(wǎng)₁和W₂；

(II)若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到l₁，l₂的距離之積等于d²，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(III)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與(II)中的曲線C相交于M₁，M₂兩點(diǎn)，且與l₁，l₂分別交于M₃，M₄兩點(diǎn)．求證△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．

(9)拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程是　　　　　 ；焦點(diǎn)坐標(biāo)是　　　　　 ．

(10)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是　　　　　　　 (用數(shù)字作答)

(11)函數(shù)的定義域?yàn)?u>　　　　　　　　 .

(12)在△ABC中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，則BC的長(zhǎng)為　　　　 ．

(13)對(duì)于函數(shù)f(x)定義域中任意的x₁，x₂(x₁≠x₂)，有如下結(jié)論：

　　　 ①f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)；② f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)； ③>0；④.

　　　 當(dāng)f(x)=lgx時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　　　 .

(14)已知n次多項(xiàng)式,

　　 如果在一種算法中，計(jì)算(k＝2，3，4，…，n)的值需要k－1次乘法，計(jì)算的值共需要9次運(yùn)算(6次乘法，3次加法)，那么計(jì)算的值共需要　　　　　　　 次運(yùn)算．

　　 下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：(k＝0， 1，2，…，n－1)．利用該算法，計(jì)算的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算的值共需要　　　　 次運(yùn)算．

　 (1)設(shè)集合M={x| x>1，P={x| x²>1}，則下列關(guān)系中正確的是

　 (A)M＝P　 (B)PM　 (C)MP　 ( D)

(2)為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)上所有點(diǎn)

　 (A)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

　 (B)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

　 (C)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

　 (D)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

(3)“m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的

　　 (A)充分必要條件　　　　 (B)充分而不必要條件

　　 (C)必要而不充分條件　　 (D)既不充分也不必要條件

　 (4)若，且，則向量與的夾角為

　　 (A)30°　 (B)60°　　 (C)120°　 (D)150°

　 (5)從原點(diǎn)向圓 x²+y²－12y+27=0作兩條切線，則這兩條切線的夾角的大小為

　　 (A)　 (B)　 　　(C)　　 (D)

(6)對(duì)任意的銳角α，β，下列不等關(guān)系中正確的是

　　 (A)sin(α+β)>sinα+sinβ　　 (B)sin(α+β)>cosα+cosβ

　　 (C)cos(α+β)<sinα+sinβ　 (D)cos(α+β)<cosα+cosβ

(7)在正四面體P－ABC中，D，E，F分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是

　　 (A)BC//平面PDF　　　　　 (B)DF⊥平面PA E

　　 (C)平面PDF⊥平面ABC　　 (D)平面PAE⊥平面 ABC

(8)五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有

(A)種　　 (B)種　 (C)種　 (D)種

20．(本小題共14分)

設(shè)是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在上單調(diào)遞增，在[x^*，1]上單調(diào)遞減，則稱為[0，1]上的單峰函數(shù)，x^*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間.

對(duì)任意的[0，1]上的單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法.

　 (Ⅰ)證明：對(duì)任意的為含峰區(qū)間；

若為含峰區(qū)間；

　 (Ⅱ)對(duì)給定的r(0<r<0.5)，證明：存在，使得由(Ⅰ)所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于0.5+r；

　 (Ⅲ)選取，由(Ⅰ)可確定含峰區(qū)間為(0，)或(，1)，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取類似地可確定一個(gè)新的含峰區(qū)間，在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，)的情況下，試確定的值，滿足兩兩之差的絕地值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度縮短到0.34.

　 (區(qū)間長(zhǎng)度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差)

[答案]

[詳解]

(I)證明：設(shè)為的峰點(diǎn),則由單峰函數(shù)定義可知在上單調(diào)遞增,

　　　 在上單調(diào)遞減.

　　　 當(dāng)時(shí),假設(shè),則從而

　　　 這與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間.

　　　 當(dāng)時(shí),假設(shè),則,從而

　　　 這與矛盾,所以,即是含峰區(qū)間.

(II)證明：由(I)的結(jié)論可知：

　　　 當(dāng)時(shí),含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為

　　　 當(dāng)時(shí),含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為

　　　 對(duì)于上述兩種情況,由題意得

　　　 由①得,即

　　　 又因?yàn)?sub>,所以

將②代入①得

　　　 由①和③解得

　　　 所以這時(shí)含峰區(qū)間的長(zhǎng)度,即存在使得所確定的含峰區(qū)間

　　　 的長(zhǎng)度不大于

(III)解：對(duì)先選擇的,由(II)可知

　　　 在第一次確定的含峰區(qū)間為的情況下, 的取值應(yīng)滿足

　　　 由④與⑤可得

　　　 當(dāng)時(shí),含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為

　　　 由條件,得,從而

　　　 因此,為了將含峰區(qū)間的長(zhǎng)度縮短到,只要取

[名師指津]

　　　 本題為信息題,通過(guò)題目中給出的信息結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決這類問(wèn)題.

19．(本小題共12分)

設(shè)數(shù)列

記

　 (Ⅰ)求a₂，a₃；

　 (Ⅱ)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

　 (Ⅲ)求

[答案]

[詳解]

解：(I)

　(II)

　　　 因?yàn)?sub>,所以

　　　 所以

　　　 猜想：是公比為的等比數(shù)列.

　　　 證明如下：

　　　 因?yàn)?/p>

　　　 所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.

(III)

[名師指津]

　　　 數(shù)列類型題,數(shù)列通項(xiàng)公式的遞推公式經(jīng)常在已知條件中給出,利用列舉、疊加、疊乘等方法求之

通項(xiàng)公式的方法應(yīng)掌握,另外遞推公式與數(shù)學(xué)歸納法思想一致,數(shù)學(xué)歸納法證明方法經(jīng)常在此類

題中運(yùn)用.等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的求法和運(yùn)用,等差等比數(shù)列的性質(zhì)做為本

章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.

18．(本小題共14分)

　　　 如圖，直線l₁：與直線l₂：之間的陰影區(qū)域(不含邊界)記為W，其左半部分記為W₁，右半部分記為W₂.

　 (Ⅰ)分別用不等式組表示W(wǎng)₁和W₂；

　 (Ⅱ)若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到l₁，l₂的距離之積等于d²，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(Ⅲ)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與(Ⅱ)中的曲線C相交于M₁，M₂兩點(diǎn)，且與l₁，l₂分別

交于M₃，M₄兩點(diǎn). 求證△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合.

[答案]

[詳解]

解：(I)

(II)直線直線,由題意得

　　　 即

　　　 由知

　　　 所以即

　　　 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

(III)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),可設(shè)直線的方程為由于直線、曲線C關(guān)于軸對(duì)稱,

　　　 且與關(guān)于軸對(duì)稱,于是的中點(diǎn)坐標(biāo)都為,所以

　　　 的重心坐標(biāo)都為,即它們的重心重合.

　　　 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為

　　　 由,得

　　　 由直線　與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn),可知,且

　　　 設(shè)的坐標(biāo)分別為

　　　 則

　　　 設(shè)的坐標(biāo)分別為

　　　 由

　　　 從而

　　　 所以

　　　 所以

　　　 于是的重心與的重心也重合.

[名師指津]

　　　 本題為解析幾何的綜合題型,在高考試題中解析經(jīng)常會(huì)與函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量等綜合考

查各種數(shù)學(xué)思想及方法.

17．(本小題共13分)

　　　 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為

　 (Ⅰ)記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ；

(Ⅱ)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；

(Ⅲ)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.

[答案]

[詳解]

解：(I)　

的概率分布如下表：

	0	1	2	3
P

或

(II)乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為

(III)設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A,甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次

為事件,甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件,則

為互斥事件.

所以,甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為.

[名師指津]

　　　 概率應(yīng)用題在每年的各地高考試題中基本上都會(huì)有所涉及,而且本類題相對(duì)比較容易解決,復(fù)習(xí)時(shí)一定將這類題落實(shí).

16．(本小題共14分)

　　　 如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=，

AC⊥BD，垂足為E.

(Ⅰ)求證BD⊥A₁C；

(Ⅱ)求二面角A₁-BD-C_­1的大小；

(Ⅲ)求異面直線AD與BC₁所成角的余弦值.

解法一：

(I)在直四棱柱中,

　　　 底面,

　　　 是在平面上的射影.

(II)連結(jié)

　　　 與(I)同理可證

　　　 為二面角的平面角.

　　　 又且

　　　 在中,， ，

　　　 即二面角的大小為90°

(III)過(guò)B作BF∥AD交于,連結(jié)

　　　 則就是與所成的角.

在中,。

即異面直線與所成角的余弦值為。

解法二：

(I)同解法一.

(II)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),所

　　　 在直線分別為軸,軸,軸,建立空間

　　　 直角坐標(biāo)系.

　　　 連結(jié)

　　　 與(I)同理可證,

　　　 為二面角的平面角.

　　　 得。

　　　 ∴ 。∴。

　　　 ∴ 二面角的大小為90°.

(II)如圖,由，得。

∵ ，

∴。

即異面直線與所成角的余弦值為。

解法三：

(I)同解法一.

　 (II)如圖,建立空間直角坐標(biāo),坐標(biāo)原點(diǎn)為E.

　　　 連結(jié)

　　　 與(I)同理可證,

　　　 為二面角的平面角.

　　　 由

　　　 得

　　　 二面角的大小為

(III)如圖,由

　　　 得

　　　 異面直線與所成角的大小為

[名師指津]

　　　 三垂線定理,二面角的平面角、線面角、兩條異面直線所成的角作法及求法,線線、線面、面面平

行與直線的判斷與性質(zhì),構(gòu)成了立體幾何的主要內(nèi)容,平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)將之落實(shí).

15．(本小題共13分)

　　　 已知函數(shù)

　 (Ⅰ)求的單調(diào)減區(qū)間；

(Ⅱ)若在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值.

[答案]

[詳解]

解：(I)

令,解得或

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

(II)因?yàn)?sub>

所以

因?yàn)樵?sub>上,所以在單調(diào)遞增,又由于

在上單調(diào)遞減,因此和分別是在區(qū)間

上的最大值和最小值.

于是有,解得

故

因此

即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

[名師指津]

　　　 函數(shù)求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問(wèn)題近幾年高考試題中屢屢出現(xiàn),成為熱門題型.要

　　　 熟練掌握各種常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)方法及研究單調(diào)、最值的基本思路.

14．已知n次式項(xiàng)式.

　　 如果在一種算法中，計(jì)算的值需要k－1次乘法，計(jì)算P₃(x₀)的值共需要9次運(yùn)算(6次乘法，3次加法)，那么計(jì)算P₁₀(x₀)的值共需要　　　　　　　

　　 次運(yùn)算.

　　　 下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P₀(x)=a₀，P_k+1(x)=xP_k(x)+a_k+1(k=0，1，2，…，n－1).利用該算法，計(jì)算P₃(x₀)的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算P₁₀(x₀)的值共需要

　　　　　　 次運(yùn)算.

[答案]

[詳解]

　　　 由題意知道的值需要次運(yùn)算,即進(jìn)行次的乘法運(yùn)算可得到的結(jié)果

　　　 對(duì)于這里進(jìn)行了3次運(yùn)算,

　　　 進(jìn)行了2次運(yùn)算,進(jìn)行1次運(yùn)算,最后之間的加法

運(yùn)算進(jìn)行了3次這樣總共進(jìn)行了次運(yùn)算

對(duì)于總共進(jìn)行了次

乘法運(yùn)算及次加法運(yùn)算所總共進(jìn)行了次

由改進(jìn)算法可知：

　　　 ,,

運(yùn)算次數(shù)從后往前算和為：次

[名師指津]

　　　 本題目屬于信息題,做此類題需要認(rèn)真分析題目本身所給的信息.