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22．(本小題滿分14分)

如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).

(1)求△APB的重心G的軌跡方程.

(2)證明∠PFA=∠PFB.

[思路點(diǎn)撥]本題涉及解析幾何中直線與拋物線的若干知識(shí).

[正確解答](1)設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，

∴切線AP的方程為：

　 切線BP的方程為：

解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：

所以△APB的重心G的坐標(biāo)為 ，

所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：

　 (2)方法1：因?yàn)?sub>

由于P點(diǎn)在拋物線外，則

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：

即

所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：

直線BF的方程：

所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：

，同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.

[解后反思]解析幾何主要的是點(diǎn)和曲線的位置關(guān)系、對(duì)稱性，標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)中系數(shù)對(duì)位置的影響.圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì),解析幾何的解答題往往是高檔題，常常涉及的內(nèi)容是求軌跡方程、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、對(duì)稱、最值、范圍.做這類題目一定要認(rèn)真細(xì)心,提高自己的運(yùn)算能力和思維能力.

21．(本小題滿分12分)

已知數(shù)列

(1)證明

(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n.

[思路點(diǎn)撥]本題考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理能力.第(1)問是證明遞推關(guān)系，聯(lián)想到用數(shù)學(xué)歸納法，第(2)問是計(jì)算題，也必須通過遞推關(guān)系進(jìn)行分析求解.

[正確解答](1)方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當(dāng)n=1時(shí)，

　 ∴，命題正確.

2°假設(shè)n=k時(shí)有

　 則

而

又

∴時(shí)命題正確.

由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有

方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

　　 1°當(dāng)n=1時(shí)，∴；

　　 2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，

　　　 令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)

有：即

也即當(dāng)n=k+1時(shí)　 成立，所以對(duì)一切

　 (2)下面來求數(shù)列的通項(xiàng)：所以

,

又b_n=－1，所以.

[解后反思]數(shù)列是高考考綱中明文規(guī)定必考內(nèi)容之一,考綱規(guī)定學(xué)生必須理解數(shù)列的概念,了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).當(dāng)然數(shù)列與不等式的給合往往得高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)之一,也成為諸多省份的最后壓軸大題,解決此類問題,必須有過硬的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與過人的數(shù)學(xué)技巧,同時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法也是比較好的選擇,不過在使用數(shù)學(xué)歸納法的過程中,一定要遵循數(shù)學(xué)歸納法的步驟.

20．(本小題滿分12分)

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).

　 (1)證明：D₁E⊥A₁D；

　 (2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD₁的距離；

　 (3)AE等于何值時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為.

[思路點(diǎn)撥]本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí),

[正確解答]解法(一)

(1)證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

(2)設(shè)點(diǎn)E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

(3)過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

　 ∴∠DHD₁為二面角D₁-EC-D的平面角.

設(shè)AE=x，則BE=2－x

解法(二)：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)C(0，2，0)

(1)

(2)因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E(1，1，0)，從而，

，設(shè)平面ACD₁的法向量為，則

也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD₁C的距離為

(3)設(shè)平面D₁EC的法向量

，∴

由　 令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依題意

∴(不合，舍去)， .

∴AE=時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為.

[解后反思]立體幾何的內(nèi)容就是空間的判斷、推理、證明、角度和距離、面積與體積的計(jì)算，這是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,本題實(shí)質(zhì)上求解角度和距離,在求此類問題中,盡量要將這些量處于三角形中,最好是直角三角形,這樣計(jì)算起來,比較簡(jiǎn)單,此外用向量也是一種比較好的方法,不過建系一定要恰當(dāng),這樣坐標(biāo)才比較好寫出來.

19．(本小題滿分12分)

A、B兩位同學(xué)各有五張卡片，現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)出現(xiàn)正面朝上時(shí)A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)9次時(shí)，或在此前某人已贏得所有卡片時(shí)游戲終止.設(shè)表示游戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù).

(1)求的取值范圍；

(2)求的數(shù)學(xué)期望E.

[思路點(diǎn)撥]本題考查涉及概率等若干知識(shí)，理解的含義是解決本題的關(guān)鍵.

[正確解答](1)設(shè)正面出現(xiàn)的次數(shù)為m，反面出現(xiàn)的次數(shù)為n，則，

可得：

(2)

[解后反思]要想做對(duì)此類問題,要具備兩個(gè)條件,首先要理解題目所涉及的知識(shí),本題有一定的抽象性,如果你不理解題目,你就無從下手,第二要記牢這一類題目的做題步驟,做此類型題目,有時(shí)候步驟很重要的,嚴(yán)格按照書中例題的步驟完成是得到正確答案的保證.

18．(本小題滿分12分)

已知向量.

是否存在實(shí)數(shù)若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.

[思路點(diǎn)撥]本題主要考查向量與三角,導(dǎo)數(shù)的綜合題,正確化簡(jiǎn)f(x)是解該題的關(guān)健.

[正確解答]

[解后反思]本題是一道簡(jiǎn)單三角函數(shù)題,不過我們?nèi)匀辉诒绢}的解決過程中,發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)問題,化簡(jiǎn)在解決數(shù)學(xué)過程中的重要地位,本題只要化簡(jiǎn)到位,那么在解決的過程會(huì)大大縮短,一切都變的簡(jiǎn)單起來,所以在解三角函數(shù)問題或其他的數(shù)學(xué)問題,能化簡(jiǎn)的,要盡量先化簡(jiǎn).

17．(本小題滿分12分)

已知函數(shù)(a，b為常數(shù))且方程f(x)－x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x₁=3, x₂=4.

　 (1)求函數(shù)f(x)的解析式；

　 (2)設(shè)k>1，解關(guān)于x的不等式；

[思路點(diǎn)撥]本題主要考查求函數(shù)的解析式及含參分式不等式的解法.

[正確解答](1)將得

(2)不等式即為

即

①當(dāng)

②當(dāng)

③.

[解后反思]解不等式的過程實(shí)質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的過程,分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式,解分式不等式一般情況下是移項(xiàng),通分,然后轉(zhuǎn)化成整式不等式,對(duì)于高次不等式,借助數(shù)軸法,則簡(jiǎn)單,快捷,另外,

16．以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中

　　　 ①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

　　　 ②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；

　　　 ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

　　　 ④雙曲線有相同的焦點(diǎn).

　　　 其中真命題的序號(hào)為　　　　　　　　 (寫出所有真命題的序號(hào))

[思路點(diǎn)撥]本題主要考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)主要由a,b,c,e的關(guān)系求得

[正確解答]雙曲線的第一定義是:平面上的動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)是A,B之間的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)2a,且,那么P點(diǎn)的軌跡為雙曲線,故①錯(cuò)，

由,得P為弦AB的中點(diǎn),故②錯(cuò)，

設(shè)的兩根為則可知兩根互與為倒數(shù),且均為正,故③對(duì)，

的焦點(diǎn)坐標(biāo)(),而的焦點(diǎn)坐標(biāo)(),故④正確.

[解后反思]要牢牢掌握橢圓,雙曲線的第一定義,同時(shí)還要掌握?qǐng)A錐曲線的統(tǒng)一定義,弄清圓錐曲線中a,b,c,e的相互關(guān)系.

15．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

AB=BC=，BB₁=2，，

E、F分別為AA₁、C₁B₁的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從E

到F兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為　　　　　　　 .

[思路點(diǎn)撥]本題主要考查空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離.

[正確解答]分別延將E、F展開到同一平面內(nèi)，則易得：，,或

比較可得，最小值為.

[解后反思]將平面圖形空間化也是立體幾何的另一種問題形式,在做立體幾何中,許多問題都是空間圖形進(jìn)行平面化,努力將一個(gè)個(gè)空間圖形,通過所學(xué)的幾何知識(shí),轉(zhuǎn)化成平面圖形,最后使用平面幾何的若干知識(shí)解決,而本題卻反其道而行之,所以在做法上就不能和上述的方法相同,但在本質(zhì)上有許多相通之處,在這類題目中,盡量找出兩者圖形過程中的聯(lián)系之處,哪些量變啦,哪些量沒有變,然后解決起來,就會(huì)順手多啦.

14．設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足　　　　　　　 　.

[思路點(diǎn)撥]本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然后求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

[正確解答]表示兩點(diǎn)(0,0),A(x,y)的斜率

[解后反思]解題的關(guān)鍵是理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,類似的你知道的幾何意義嗎？

13．若函數(shù)是奇函數(shù)，則a=　　　　　　　 　.

[思路點(diǎn)撥]本題主要考查函數(shù)的奇偶性,由函數(shù)的奇偶性的定義可求得.

[正確解答]

解法1：由題意可知，，即，

因此，.

解法2：函數(shù)的定義域?yàn)镽,又f(x)為奇函數(shù),故其圖象必過原點(diǎn)即f(0)=0,所以,得即推出答案

[解后反思]對(duì)數(shù)學(xué)概念及定理公式的深刻理解是解數(shù)學(xué)問題的關(guān)健,討論函數(shù)的奇偶性,其前提條件是函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.