題目列表(包括答案和解析)
⑴、設集合
，
，則
A．
B．
C．
D．
⑵、已知函數
的圖象與函數
的圖象關于直線
對稱，則
A．
B．
C．
D．
⑶、雙曲線
的虛軸長是實軸長的2倍，則
A．
B．
C．
D．
⑷、如果復數
是實數，則實數
A．
B．
C．
D．
⑸、函數
的單調增區間為
A．
B．
C．
D．
⑹、
的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數列，且
，則
A．
B．
C．
D．
⑺、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是
A．
B．
C．
D．
⑻、拋物線
上的點到直線
距離的最小值是
A．
B．
C．
D．
⑼、設平面向量
、
、
的和
。如果向量
、
、
，滿足
，且
順時針旋轉
后與
同向，其中
，則
A．
B．
C．
D．
⑽、設
是公差為正數的等差數列，若
，
，則
A．
B．
C．
D．
⑾、用長度分別為2、3、4、5、6(單位：
)的5根細木棒圍成一個三角形(允許連接，但不允許折斷)，能夠得到的三角形的最大面積為
A．
B．
C．
D．
⑿、設集合
。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有
A．
B．
C．
D．
普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
第Ⅱ卷
22、解：
(1)
將條件變為：1－
＝
，因此{1－}為一個等比數列，其首項為
1－
＝
，公比，從而1－＝
，據此得an＝
(n³1)…………1°
(2)
證：據1°得，a1·a2·…an＝
為證a1·a2·……an<2·n！
只要證nÎN*時有
>
…………2°
顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個nÎN*，有
³1－(
)…………3°
用數學歸納法證明3°式：
(i) n＝1時，3°式顯然成立，
(ii) 設n＝k時，3°式成立，
即
³1－(
)
則當n＝k+1時，
³(1－())·(
)
＝1－()－
+()
³1－(+)即當n＝k+1時，3°式也成立。
故對一切nÎN*，3°式都成立。
利用3°得，³1－()＝1－
＝1－
>
故2°式成立，從而結論成立。
b2(x1－x2)2x+a2(y1－y2)2y＝0
\b2x2+a2y2－b2cx＝0…………(3)
2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程(3)
故所求點P的軌跡方程為：b2x2+a2y2－b2cx＝0
(2)因為，橢圓 Q右準線l方程是x＝
，原點距l
的距離為，由于c2＝a2－b2，a2＝1+cosq+sinq，b2＝sinq(0<q£
)
則＝
＝2sin(
+
)
當q＝時，上式達到最大值。此時a2＝2，b2＝1，c＝1，D(2，0)，|DF|＝1
設橢圓Q：
上的點 A(x1，y1)、B(x2，y2)，三角形ABD的面積
S＝|y1|+|y2|＝|y1－y2|
設直線m的方程為x＝ky+1，代入中，得(2+k2)y2+2ky－1＝0
由韋達定理得y1+y2＝
，y1y2＝
，
4S2＝(y1－y2)2＝(y1+y2)2－4 y1y2＝
令t＝k2+1³1，得4S2＝
，當t＝1，k＝0時取等號。
因此，當直線m繞點F轉到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。
22、(本大題滿分14分)
已知數列{an}滿足：a1＝
，且an＝
(3) 求數列{an}的通項公式；
(4) 證明：對于一切正整數n，不等式a1·a2·……an<2·n！
21、解：如圖，(1)設橢圓Q：
(a>b>0)
上的點A(x1，y1)、B(x2，y2)，又設P點坐標為P(x，y)，則
1°當AB不垂直x軸時，x1¹x2，
21、(本大題滿分12分)
如圖，橢圓Q：(a>b>0)的右焦點F(c，0)，過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點
(3) 求點P的軌跡H的方程
(4) 在Q的方程中，令a2＝1+cosq+sinq，b2＝sinq(0<q£ )，確定q的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？
20、解法一：
(1)
方法一：作AH^面BCD于H，連DH。
AB^BDÞHB^BD，又AD＝
，BD＝1
\AB＝
＝BC＝AC \BD^DC
又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH^BC\AD^BC
方法二：取BC的中點O，連AO、DO
則有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD
\BC^AD
(2)
作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因為AB＝AC＝BC＝\M是AC的中點，且MN¤¤CD，則BM＝
，MN＝CD＝，BN＝AD＝
，由余弦定理可求得cosÐBMN＝
\ÐBMN＝arccos
(3)
設E是所求的點，作EF^CH于F，連FD。則EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，則ÐEDF＝30°。設EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x，FD＝
，\tanÐEDF＝
＝
＝
解得x＝
，則CE＝x＝1
故線段AC上存在E點，且CE＝1時，ED與面BCD成30°角。
解法二：此題也可用空間向量求解，解答略
20、(本小題滿分12分)
如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD
是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，
且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形
(4) 求證：AD^BC
(5) 求二面角B－AC－D的大小
(6) 在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD
成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。
19、解：
(1) 因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝
，ÐMAG＝
，
由正弦定理
得
則S1＝GM·GA·sina＝
同理可求得S2＝
(2)
y＝
＝
＝72(3+cot2a)因為
，所以當a＝
或a＝
時，y取得最大值ymax＝240
當a＝時，y取得最小值ymin＝216
19、
(本小題滿分12分)
如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是
邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，
設ÐMGA＝a()
(3) 試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S1與S2)
表示為a的函數
(4)
求y＝
的最大值與最小值
18、解：(1)x的所有可能的取值為0，10，20，50，60
分布列為
|
x |
0 |
10 |
20 |
50 |
60 |
|
P |
  |
 |
 |
 |
 |
(2)Ex＝3.3
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