題目列表(包括答案和解析)
18．
(本小題滿分14分)
請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六
棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如右
圖所示)。試問當帳篷的頂點O到底面中心
的距離
為多少時，帳篷的體積最大？
[考點分析：本題主要考查利用導數研究函數的最值的基礎知識，以及運用數學知識解決實際問題的能力]
解：設
，則
。
由題設可得正六棱錐底面邊長為：
，(單位：
)
故底面正六邊形的面積為：
=
，(單位：
)
帳篷的體積為：
(單位：
)
求導得
。
令
，解得
(不合題意，舍去)或
。
當
時，
，
為增函數；
當
時，
，為減函數。
∴當時，最大。
答：當
時，帳篷的體積最大，最大體積為
。
17．(本小題滿分12分，第一小問滿分5分，第二小問滿分7分)
已知三點P(5，2)、
(－6，0)、
(6，0)。
(Ⅰ)求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；
(Ⅱ)設點P、、關于直線y＝x的對稱點分別為
、
、
，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。
[考點分析：本題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質等基礎知識和基本運算能力]
[解](I)由題意，可設所求橢圓的標準方程為
+
，其半焦距
。
， ∴
，
，故所求橢圓的標準方程為
+
；
(II)點P(5，2)、(－6，0)、(6，0)關于直線y＝x的對稱點分別為：
、
(0，-6)、
(0，6)
設所求雙曲線的標準方程為
-
，由題意知半焦距
，
， ∴
，
，故所求雙曲線的標準方程為
-
。
(11)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝ ▲
解：利用正弦定理
點評：本題主要考查正弦定理的應用
(12)設變量x、y滿足約束條件
，則
的最大值為 ▲
解：根據線性約束條件畫出可行域(圖略)，顯然在(3，4)處取得最大值18
點評：本題主要考查線性規劃的基礎知識。
(13)今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列有 ▲ 種不同的方法(用數字作答)。
解：由題意，
點評：本題主要考查不全相異元素的全排列
(14)
＝ ▲
解
點評：本題主要考查三角函數的畫簡與求值
(15)對正整數n，設曲線
在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為
，則數列
的前n項和的公式是 ▲
解：
，令x=0，求出切線與y軸交點的縱坐標為
，所以
，則數列的前n項和
點評：本題主要考查利用導數求切線方程，再與數列知識結合起來，解決相關問題。
(16)不等式
的解集為 ▲
解：
綜上：
點評：本題主要考查對數不等式的解法
(1)已知
，函數
為奇函數，則a＝
(A)0 (B)1 (C)－1 (D)±1
解：法一：由函數
是定義域為R的奇函數，則
， 即
，則a＝0，選A
法二：
得：，則a＝0，選A
點評：主要考查奇函數的定義和性質
(2)圓
的切線方程中有一個是
(A)x－y＝0 (B)x+y＝0 (C)x＝0 (D)y＝0
解：圓心為(1，
)，半徑為1，故此圓必與y軸(x=0)相切，選C
點評：本題主要考查圓的定義及直線與圓的位置關系
(3)某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數據的平均數為10，方差為2，則｜x－y｜的值為
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解： 由平均數公式為10，得
則
；又由于方差為2，則
得
，所以有
，故選(D)
點評：本題主要考查平均數與方差的定義等統計方面的基礎知識
(4)為了得到函數
的圖像，只需把函數
的圖像上所有的點
(A)向左平移
個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的
倍(縱坐標不變)
(B)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)
(C)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)
(D)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)
解：根據三角函數的圖像變換法則易得：把向左平移個單位長度得
，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)故選(C)
點評：本題主要考查形如
的三角函數圖像的變換
(5)
的展開式中含x的正整數指數冪的項數是
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解：展開式通項為
，若展開式中含x的正整數指數冪，即
所以
，選(B)
點評：本題主要考查二項式定理的相關知識
(6)已知兩點M(－2，0)、N(2，0)，點P為坐標平面內的動點，滿足
＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由題意 
，所以有
即：，故選(B)
點評：本題主要考查點的軌跡方程的求法
(7)若A、B、C為三個集合，
，則一定有
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由
知，
，故選(A)
點評：本題主要考查集合間關系的運算
(8)設a、b、c是互不相等的正數，則下列等式中不恒成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
解：因為
，所以(A)恒成立；
在(B)兩側同時乘以
得
所以(B)恒成立；
(C)中，當a>b時，恒成立，a<b時，不成立；
(D)中，分子有理化得
恒成立，故選(C)
點評：本題主要考查不等式的相關知識
|
|
|
|
(9)兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有
|
(C)3個 (D)無窮多個
解：法一：本題可以轉化為一個正方形可以有多少個內接正方形，顯然有無窮多個
法二：通過計算，顯然兩個正四棱錐的高均為
，考查放入正方體后，面ABCD所在的截面，顯然其面積是不固定的，取值范圍是
，所以該幾何體的體積取值范圍是
點評：本題主要考查學生能否迅速構造出一些常見的幾何模型，并不是以計算為主
(10)右圖中有一個信號源和五個接收器。接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號。若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是
(A)
(B)
(C)
(D)
解：由題意，左端的六個接線點隨機地平均分成三組有
種分法，同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有種分法；要五個接收器能同時接收到信號，則需五個接收器與信號源串聯在同一個線路中，即五個接收器的一個全排列，再將排列后的第一個元素與信號源左端連接，最后一個元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有
種，所求的概率是
，故選(D)
點評：本題要求學生能夠熟練運用排列組合知識解決計數問題，并進一步求得概率問題，其中隱含著平均分組問題。
21. (本小題滿分14分)
已知橢圓C1:
,拋物線C2:
,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
(Ⅰ)當AB⊥
軸時,求
、
的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.
2006年普通高等學校招生全國統一考試(湖南卷)
20. (本小題滿分14分)
對1個單位質量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:
)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質量變為
(1≤a≤3).設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是
(
),用
質量的水第二次清洗后的清潔度是
,其中
是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及
時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響.
19. (本小題滿分14分)
已知函數
,數列{
}滿足:
證明:(ⅰ)
;(ⅱ)
.
18. (本小題滿分14分)
如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.
(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.
17.(本小題滿分12分)
某安全生產監督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格,則必須進行整改.若整改后經復查仍不合格,則強行關閉.設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計算(結果精確到0.01):
(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;
(Ⅲ)至少關閉一家煤礦的概率.
16.
(本小題滿分12分)
如圖3,D是直角△ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記∠CAD=
,∠ABC=
.
(Ⅰ)證明 
;
(Ⅱ)若AC=
DC,求的值.
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