題目列表(包括答案和解析)
2、已知復(fù)數(shù)z滿足(
+3i)z＝3i，則z＝( )
A．
B. 
C. 
D.
1、已知集合M＝{x|
}，N＝{y|y＝3x2+1，xÎR}，則MÇN＝( )
A．Æ B. {x|x³1} C.{x|x>1} D. {x| x³1或x<0}
20．本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。
要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴
t≥0
①
t的取值范圍是
由①得
∴m(t)=a(
)+t=
(2)由題意知g(a)即為函數(shù)
的最大值。
注意到直線
是拋物線
的對稱軸，分以下幾種情況討論。
當(dāng)a>0時，函數(shù)y=m(t), 
的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由<0知m(t)在上單調(diào)遞增，∴g(a)=m(2)=a+2
(2)當(dāng)a=0時，m(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)當(dāng)a<0時,函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若
，即
則
若
，即
則
若
，即
則
綜上有
(3)解法一：
情形1：當(dāng)
時
，此時
，
由
，與a<-2矛盾。
情形2：當(dāng)
時，此時，
解得， 
與
矛盾。
情形3：當(dāng)
時，此時
所以
情形4：當(dāng)時，
，此時
，
矛盾。
情形5：當(dāng)時，
，此時g(a)=a+2,
由
解得
矛盾。
情形6：當(dāng)a>0時，
，此時g(a)=a+2,
由
，由a>0得a=1.
綜上知，滿足
的所有實數(shù)a為或a=1
21本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。
證明：必要性，設(shè)是{an}公差為d1的等差數(shù)列，則
bn+1–bn=(an+1–an+3) – (an–an+2)= (an+1–an) – (an+3–an+2)= d1– d1=0
所以bn
bn+1
( n=1,2,3,…)成立。
又cn+1–cn=(an+1–an)+2 (an+2–an+1)+3 (an+3–an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常數(shù)) ( n=1,2,3,…)
所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列。
充分性：
設(shè)數(shù)列{cn}是公差為d2的等差數(shù)列，且bnbn+1
( n=1,2,3,…)
∵cn=an+2an+1+3an+2 ①
∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4 ②
①-②得cn–cn+2=(an–an+2)+2 (an+1–an+3)+3 (an+2–an+4)=bn+2bn+1+3bn+2
∵cn–cn+2=( cn–cn+1)+( cn+1–cn+2)= –2 d2
∴bn+2bn+1+3bn+2=–2 d2 ③
從而有bn+1+2bn+2+3bn+3=–2 d2 ④
④-③得(bn+1–bn)+2 (bn+2–bn+1)+3 (bn+3–bn+2)=0 ⑤
∵bn+1–bn≥0, bn+2–bn+1≥0 , bn+3–bn+2≥0,
∴由⑤得bn+1–bn=0 ( n=1,2,3,…)，
由此不妨設(shè)bn=d3 ( n=1,2,3,…)則an–an+2= d3(常數(shù)).
由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+1–3d3
從而cn+1=4an+1+2an+2–5d3 ，
兩式相減得cn+1–cn=2( an+1–an) –2d3
因此
(常數(shù)) ( n=1,2,3,…)
所以數(shù)列{an}公差等差數(shù)列。
[解后反思]理解公差d的涵義，能把文字敘述轉(zhuǎn)化為符號關(guān)系式.利用遞推關(guān)系是解決數(shù)列的重要方法,要求考生熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項公式及其由來.
(17)(本小題滿分12分，第一小問滿分5分，第二小問滿分7分)
已知三點P(5，2)、
(－6，0)、
(6，0).
(Ⅰ)求以、為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
|
(Ⅱ)設(shè)點P、、關(guān)于直線y＝x的對稱點分別為
、
、
，求以、為焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
(18)(本小題滿分14分)
|
的距離為多少時，帳篷的體積最大？
(19)(本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分)
在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2(如圖1)。將△AEF沿EF折起到
的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P(如圖2)
(Ⅰ)求證：A1E⊥平面BEP；
(Ⅱ)求直線A1E與平面A1BP所成角的大小；
(Ⅲ)求二面角B－A1P－F的大小(用反三角函數(shù)表示)
(20)(本小題滿分16分，第一小問4分，第二小問滿分6分，第三小問滿分6分)
設(shè)a為實數(shù)，設(shè)函數(shù)
的最大值為g(a)。
(Ⅰ)設(shè)t＝
，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)
(Ⅱ)求g(a)
(Ⅲ)試求滿足
的所有實數(shù)a
(21)(本小題滿分14分)
設(shè)數(shù)列
、
、
滿足：
，
(n=1,2,3,…)，
證明為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且
(n=1,2,3,…)
1[思路點撥]本題考查函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)sinx的奇偶性的判斷，本題是一道送分的概念題
[正確解答]解法1由題意可知，
得a=0
解法2：函數(shù)的定義域為R,又f(x)為奇函數(shù),故其圖象必過原點即f(0)=0,所以得a=0,
解法3由f(x)是奇函數(shù)圖象法函數(shù)畫出
的圖象選A
[解后反思]對數(shù)學(xué)概念及定理公式的深刻理解是解數(shù)學(xué)問題的關(guān)健,討論函數(shù)的奇偶性,其前提條件是函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點對稱.
若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)
的圖象關(guān)于原點對稱.
若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)
的圖象關(guān)于y軸對稱.
2[思路點撥]本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑.
[正確解答]直線ax+by=0
，則
，由排除法，
選C,本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事。
[解后反思]直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件:圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件:直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解.
3[思路點撥]本題考查統(tǒng)計的基本知識，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法
[正確解答]由題意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解這個方程組需要用一些技巧，因為不要直接求出x、y，只要求出
，設(shè)x=10+t, y=10-t, 
，選D
[解后反思]
4[思路點撥]本題主要考三角函數(shù)的圖象變換，這是一道平時訓(xùn)練的比較多的一種類型。
[正確解答]先將
的圖象向左平移
個單位長度，
得到函數(shù)
的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)
的圖像
[解后反思]由函數(shù)
的圖象經(jīng)過變換得到函數(shù)
(1)．y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到的
(2)函數(shù)y=sinωx, xÎR (ω>0且ω¹1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的
倍(縱坐標(biāo)不變)
(3)函數(shù)y＝sin(x+
)，x∈R(其中
≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當(dāng)＞0時)或向右(當(dāng)＜0時＝平行移動｜｜個單位長度而得到 (用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)
可以先平移變換后伸縮變換，也可以先伸縮變換后平移變換，但注意：先伸縮時，平移的單位把x前面的系數(shù)提取出來。
5[思路點撥]本題主要考查二項式展開通項公式的有關(guān)知識.
[正確解答]
的展開式通項為
，因此含x的正整數(shù)次冪的項共有2項.選B
[解后反思]多項式乘法的進位規(guī)則.在求系數(shù)過程中,盡量先化簡,降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算,在運算過程可以適當(dāng)注意令值法的運用,例如求常數(shù)項,可令
.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別.
6[思路點撥]本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，拋物線的定義.
[正確解答]設(shè)
，
，
，
則
由
，則
，
化簡整理得
所以選B
[解后反思]向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的性質(zhì)在平面向量中的應(yīng)用是學(xué)習(xí)的重點和難點.也是高考常常考查的重要內(nèi)容之一.在平時請多多注意用坐標(biāo)如何來表示向量平行和向量垂直,既要注意它們聯(lián)系,也要注意它們的區(qū)別.
7[思路點撥]本題主要考查.集合的并集與交集運算，集合之間關(guān)系的理解。
[正確解答]因為
由題意得
所以選A
[解后反思]對集合的子、交、并、補運算，以及集合之間的關(guān)系要牢固掌握。本題考查三個抽象集合之間的關(guān)系，可以考慮借助與文氏圖。
8[思路點撥]本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論。
[正確解答]運用排除法，C選項
，當(dāng)a-b<0時不成立。
[解后反思]運用公式一定要注意公式成立的條件
如果
如果a,b是正數(shù)，那么
9[思路點撥]本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積
[正確解答]由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問題轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D.
[解后反思]正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化。
10[思路點撥]本題主要考查平均分組問題及概率問題.
[正確解答]將六個接線點隨機地平均分成三組，共有
種結(jié)果，五個接收器能同時接收到信號必須全部在同一個串聯(lián)線路中，有
種結(jié)果，這五個接收器能同時接收到信號的概率是
，選D
[解后反思]概率問題的難點在于分析某事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果及其表示方法，而運用概率部分的性質(zhì)、公式求某事件概率只是解決問題的工具而已
11[思路點撥]本題主要考查解三角形的基本知識
[正確解答]由正弦定理得，
解得
[解后反思]解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理
12[思路點撥]本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然后求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.
[正確解答]
畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點
A(3,4)處，目標(biāo)函數(shù)z最大值為18
[解后反思]本題只是直接考查線性規(guī)劃問題，是一道較為簡單的送分題。近年來高考線性規(guī)劃問題高考數(shù)學(xué)考試的熱點，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一,是連接代數(shù)和幾何的重要方法。 隨著要求數(shù)學(xué)知識從書本到實際生活的呼聲不斷升高,線性規(guī)劃這一類新型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題要引起重視。
13[思路點撥]本題考查排列組合的基本知識.
[正確解答]由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有
[解后反思]分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段,也是基礎(chǔ)方法,在高中數(shù)學(xué)中,只有這兩個原理,尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處,當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時,用分類的方法可以有效的將之化簡,達到求解的目的.
14[思路點撥]本題考查三角公式的記憶及熟練運用三角公式計算求值
[正確解答]
[解后反思]方法不拘泥,要注意靈活運用,在求三角的問題中,要注意這樣的口決“三看”即(1)看角,把角盡量向特殊角或可計算角轉(zhuǎn)化，(2)看名稱,把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切，(3)看式子,看式子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足直接使用,如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱,就可以使用.
15[思路點撥]本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項公式以及等比數(shù)列的前n項和的公式
[正確解答]
，曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n-1-(n+1)2n
切點為(2，-2n),所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=
.數(shù)列
的前n項和為2+22+23+…+2n=2n+1-2
[解后反思]應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率時，要首先判定所經(jīng)過的點為切點。否則容易出錯。
16[思路點撥]本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和不等式的解法
[正確解答]
，0〈
，
.
解得
[解后反思]在數(shù)的比較大小過程中,要遵循這樣的規(guī)律,異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分,再去比較它們剩余部分,就會很輕易啦.一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法,前者和零比較,后者和1比較大小；(2)找中間量,往往是1,在這些數(shù)中,有的比1大,有的比1小；,(3)計算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫出相應(yīng)的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等.
17本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運算能力。
解：(1)由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(a>b>0),其半焦距c=6
∴
,b2=a2-c2=9.
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由題意知，半焦距c1=6
,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
18.
本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。
解：設(shè)OO1為x m,
則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為(單位：m)
于是底面正六邊形的面積為(單位：m2)
帳篷的體積為(單位：m3)
求導(dǎo)數(shù)，得
令
解得x=-2(不合題意，舍去),x=2.
當(dāng)1<x<2時，
,V(x)為增函數(shù)；
當(dāng)2<x<4時，
,V(x)為減函數(shù)。
所以當(dāng)x=2時,V(x)最大。
答當(dāng)OO1為2m時，帳篷的體積最大。
19本小題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力。
解法一：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3
(1)
在圖1中，取BE中點D，連結(jié)DF. AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600 , ∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF⊥AD在圖2中，A1E⊥EF, BE⊥EF, ∴∠A1EB為二面角A1－EF－B的平面角。由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A1E⊥BE,又
∴A1E⊥平面BEF,即
A1E⊥平面BEP
(2) 在圖2中，A1E不垂直A1B, ∴A1E是平面A1BP的垂線，又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BE.從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理)設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q,且A1Q交BP于點Q,則∠E1AQ就是A1E與平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP是等邊三角形.又 A1E⊥平面BEP , ∴A1B=A1P, ∴Q為BP的中點,且
,又 A1E=1,在Rt△A1EQ中，
,∴∠EA1Q=60o, ∴直線A1E與平面A1BP所成的角為600
在圖3中，過F作FM⊥ A1P與M，連結(jié)QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,
∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有
∴PF=PQ①,
∵A1E⊥平面BEP, 
∴A1E=A1Q,
∴△A1FP≌△A1QP從而∠A1PF=∠A1PQ②,
由①②及MP為公共邊知△FMP≌△QMP,
∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,
從而∠FMQ為二面角B－A1P－F的平面角.
在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴
. ∵ MQ⊥A1P∴
∴
在△FCQ中,FC=1,QC=2,
∠C=600,由余弦定理得
在△FMQ中，
∴二面角B－A1P－F的大小為
[解后反思]在立體幾何學(xué)習(xí)中,我們要多培養(yǎng)空間想象能力, 對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后的不變量,二面角的平面角的適當(dāng)選取是立體幾何的核心考點之一.是高考數(shù)學(xué)必考的知識點之一.作,證,解,是我們求二面角的三步驟.作:作出所要求的二面角,證:證明這是我們所求二面角,并將這個二面角進行平面化,置于一個三角形中,最好是直角三角形,利用我們解三角形的知識求二面角的平面角.向量的運用也為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度,不過在向量運用過程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托題目的圖形,坐標(biāo)才會容易求得.
(11)在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝ ▲
(12)設(shè)變量x、y滿足約束條件
，則
的最大值為 ▲
(13)今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有 ▲ 種不同的方法(用數(shù)字作答)。
(14)
＝ ▲
(15)對正整數(shù)n，設(shè)曲線
在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為
，則數(shù)列
的前n項和的公式是 ▲
(16)不等式
的解集為 ▲
(1)已知
，函數(shù)
為奇函數(shù)，則a＝
(A)0 (B)1 (C)－1 (D)±1
(2)圓
的切線方程中有一個是
(A)x－y＝0 (B)x+y＝0 (C)x＝0 (D)y＝0
(3)某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則｜x－y｜的值為
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(4)為了得到函數(shù)
的圖像，只需把函數(shù)
的圖像上所有的點
(A)向左平移
個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的
倍(縱坐標(biāo)不變)
(B)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)
(C)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)
(D)向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)
(5)
的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
(6)已知兩點M(－2，0)、N(2，0)，點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，滿足
＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)若A、B、C為三個集合，
，則一定有
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是
(A)
(B)
(C)
(D)
|
|
|
|
(9)兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有
|
(C)3個 (D)無窮多個
(10)右圖中有一個信號源和五個接收器。接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號。若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導(dǎo)線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是
(A)
(B)
(C)
(D)
21. (本小題滿分14分)已知橢圓C1:
,拋物線C2:
,
且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.
(Ⅰ)當(dāng)AB⊥
軸時,求
、
的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，
求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.
解：(Ⅰ)當(dāng)AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為：
x =1，從而點A的坐標(biāo)為(1，
)或(1，－). 因為點A在拋物線上.
所以
，即
.此時C2的焦點坐標(biāo)為(
，0)，該焦點不在直線AB上.
(II)解法一： 假設(shè)存在
、
的值使
的焦點恰在直線AB上，由(I)知直線AB
的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為
．
由
消去
得
………………①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),
則x1,x2是方程①的兩根，x1+x2＝
.
由
消去y得
.
………………②
因為C2的焦點
在直線
上，
所以
，即
.代入②有
.
即
.
…………………③
由于x1,x2也是方程③的兩根，所以x1+x2＝
.
從而
＝. 解得
……………………④
又AB過C1、、＼、、C2的焦點，所以
，
則
…………………………………⑤
由④、⑤式得
，即
．
解得
于是
因為C2的焦點
在直線
上，所以
.
或
．
由上知，滿足條件的、存在，且或，
．
解法二： 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為
，
．
因為AB既過C1的右焦點
，又過C2的焦點，
所以
.
即
.
……①
由(Ⅰ)知
，于是直線AB的斜率
， ……②
且直線AB的方程是
,
所以
. ……③
又因為
，所以
. ……④
將①、②、③代入④得
． ……………⑤
因為
，所以
． …………⑥
將②、③代入⑥得
……………⑦
由⑤、⑦得
即
解得
．將
代入⑤得
或．
由上知，滿足條件的、存在，且或，
20. (本小題滿分14分)對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:
)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?sub>
(1≤a≤3).設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是
(
),用
質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是
,其中
是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及
時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.
解：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19.
由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程:
解得y=4,故z=4
+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3.
因為當(dāng)
,故方案乙的用水量較少.
(II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為
與，類似(I)得
，
(*)
于是
+
當(dāng)為定值時,
,
當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立.此時
將
代入(*)式得
故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為
, 最少總用水量是
.
當(dāng)
,故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷).這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量.
19. (本小題滿分14分)已知函數(shù)
,
數(shù)列{
}滿足:
證明: (I)．
;
(II)．
.
證明: (I)．先用數(shù)學(xué)歸納法證明
，n＝1,2,3,…
(i).當(dāng)n=1時,由已知顯然結(jié)論成立.
(ii).假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立,即
.因為0<x<1時
,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在[0,1]上連續(xù),
從而
.故n=k+1時,結(jié)論成立.
由(i)、(ii)可知，對一切正整數(shù)都成立.
又因為
時，
，
所以
，綜上所述
．
(II)．設(shè)函數(shù)
，
．由(I)知，當(dāng)時，
，
從而
所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù). 又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0,
所以當(dāng)時，g (x)>0成立.于是
．
故．
18. (本小題滿分14分)如圖4,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1
和2,AB=4. (Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角;
(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.
解法一： (Ⅰ)．連結(jié)AC、BD，設(shè)
.由P－ABCD與Q－ABCD
都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.
(II)由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以
．由(I)，
平面
，故可以分別以直線CA、DB、QP為軸，軸，
軸建立空間直角坐標(biāo)系(如上圖)，由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是
，
，
所以
,
,于是
從而異面直線AQ與PB所成的角是
.
(Ⅲ)．由(Ⅱ)，點D的坐標(biāo)是(0，－
，0)，
，
，設(shè)
是平面QAD的一個法向量，
由
得
.
取x=1，得
. 所以點P到平面QAD的距離
.
解法二： (Ⅰ)．取AD的中點M，連結(jié)PM，QM.因為P－ABCD與Q－ABCD
都是正四棱錐，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.
又
平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
(Ⅱ)．連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在
PQ上，從而P、A、Q、C四點共面.
取OC的中點N，連結(jié)PN．
因為
，所以
，
從而AQ∥PN.∠BPN(或其補角)是異面直線AQ
與PB所成的角.連接BN，
因為
．
所以
．
從而異面直線AQ與PB所成的角是．
(Ⅲ)．由(Ⅰ)知，AD⊥平面PQM，所以平面PQM⊥平面QAD. 過P作PH⊥QM
于H，則PH⊥平面QAD，所以PH的長為點P到平面QAD的距離．
連結(jié)OM，則
.所以
，
又PQ＝PO+QO＝3，于是
.
即點P到平面QAD的距離是
.
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