創(chuàng)新課時(shí)作業(yè)本九年級數(shù)學(xué)蘇科版
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1. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的根的判別式是
$\Delta =b^{2}-4ac$
.
答案：$\Delta =b^{2}-4ac$
2. 關(guān)于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，當(dāng)$b^{2}-4ac＞0$時(shí)，方程有
兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
；當(dāng)$b^{2}-4ac=0$時(shí)，方程有
兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
；當(dāng)$b^{2}-4ac＜0$時(shí)，方程
沒有實(shí)數(shù)根
.
答案：兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒有實(shí)數(shù)根
1. 關(guān)于$x$的一元二次方程$4x^{2}-4x+1=0$的根的情況是（
B
）
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 無實(shí)數(shù)根
D. 無法確定
答案：B
解析：$\Delta =(-4)^{2}-4×4×1=16 - 16=0$，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選B.
2. 若方程$x^{2}-2x + k=0$有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則$k$的取值范圍是（
D
）
A. $k＞1$
B. $k=1$
C. $k＜1$
D. $k\leq1$
答案：D
解析：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，$\Delta =(-2)^{2}-4×1× k\geq0$，即$4 - 4k\geq0$，解得$k\leq1$，故選D.
3. 下列方程沒有實(shí)數(shù)根的是（
A
）
A. $3x^{2}-4x + 2=0$
B. $5x^{2}+3x - 1=0$
C. $(2x^{2}+1)^{2}=4$
D. $\sqrt{2}x^{2}-3x-\sqrt{3}=0$
答案：A
解析：A選項(xiàng)，$\Delta =(-4)^{2}-4×3×2=16 - 24=-8＜0$，無實(shí)數(shù)根；B選項(xiàng)，$\Delta =3^{2}-4×5×(-1)=9 + 20=29＞0$，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；C選項(xiàng)，展開得$4x^{4}+4x^{2}+1 = 4$，即$4x^{4}+4x^{2}-3 = 0$，令$y=x^{2}$，$4y^{2}+4y - 3=0$，$\Delta =16 + 48=64＞0$，有實(shí)數(shù)根；D選項(xiàng)，$\Delta =(-3)^{2}-4×\sqrt{2}×(-\sqrt{3})=9 + 4\sqrt{6}＞0$，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故選A.
4. 已知一元二次方程$x^{2}-6x + 5 - k=0$的根的判別式等于4，則這個(gè)方程的根為
$x_{1}=4$，$x_{2}=2$
.
答案：$x_{1}=4$，$x_{2}=2$
解析：$\Delta =(-6)^{2}-4×1×(5 - k)=36 - 20 + 4k=16 + 4k$，由題意得$16 + 4k=4$，解得$k=-3$，方程為$x^{2}-6x + 8=0$，因式分解得$(x - 2)(x - 4)=0$，根為$x_{1}=4$，$x_{2}=2$.
5. 關(guān)于$x$的一元二次方程$x^{2}-2kx + 1 + k^{2}=0$的根的情況是
沒有實(shí)數(shù)根
.
答案：沒有實(shí)數(shù)根
解析：$\Delta =(-2k)^{2}-4×1×(1 + k^{2})=4k^{2}-4 - 4k^{2}=-4＜0$，方程沒有實(shí)數(shù)根.
6. 已知關(guān)于$x$的方程$(m - 1)x^{2}-mx + 1=0$. 求證：無論$m$取何值，方程總有實(shí)數(shù)根.
答案：證明：當(dāng)$m = 1$時(shí)，方程化為$-x + 1=0$，解得$x = 1$，有實(shí)數(shù)根；當(dāng)$m≠1$時(shí)，$\Delta =(-m)^{2}-4(m - 1)×1=m^{2}-4m + 4=(m - 2)^{2}\geq0$，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（相等或不相等）.綜上，無論$m$取何值，方程總有實(shí)數(shù)根.
課后鞏固
定義：如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a≠0)$滿足$a - b + c=0$，那么我們稱這個(gè)方程為“蝴蝶”方程. 已知關(guān)于$x$的方程$ax^{2}+bx + c=0(a≠0)$是“蝴蝶”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則下列結(jié)論中正確的是（
C
）
A. $b = c$
B. $a = b$
C. $a = c$
D. $a = b = c$
答案：C
解析：由“蝴蝶”方程得$a - b + c=0$，即$b=a + c$.方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，$\Delta =b^{2}-4ac=0$，將$b=a + c$代入得$(a + c)^{2}-4ac=0$，即$a^{2}+2ac + c^{2}-4ac=a^{2}-2ac + c^{2}=(a - c)^{2}=0$，所以$a = c$，故選C.
