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22．本小題主要考查數學歸納法及導數應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力.

滿分12分.

(Ⅰ)解：對函數求導數：

于是

當在區間是減函數，

當在區間是增函數.

所以時取得最小值，，

(Ⅱ)證法一：用數學歸納法證明.

(i)當n=1時，由(Ⅰ)知命題成立.

(ii)假定當時命題成立，即若正數，

則

當時，若正數

令

則為正數，且

由歸納假定知

　　 　　①

同理，由可得

　　 ②

綜合①、②兩式

即當時命題也成立.

根據(i)、(ii)可知對一切正整數n命題成立.

證法二：

令函數

利用(Ⅰ)知，當

對任意

　　　　　　　　　　 .　 ①

下面用數學歸納法證明結論.

(i)當n=1時，由(I)知命題成立.

(ii)設當n=k時命題成立，即若正數

由①得到

　　　 由歸納法假設

　　　 即當時命題也成立.

　　　 所以對一切正整數n命題成立.

21．本小題主要考查直線方程、平面向量及橢圓的幾何性質等基本知訓，考查綜合運用數學知識解決問題及推理的能力，滿分14分.

　 (I)解：設橢圓方程為

　　　 則直線AB的方程為

　　　 化簡得.

　　　 令

　　　 則

　　　 共線，得

(II)證明：由(I)知，所以橢圓可化為.

　　　 在橢圓上，

　　　 即　 　①

　　　 由(I)知

又又，代入①得　

故為定值，定值為1.

20．本小題主要考查相互獨立事件和互斥事件有一個發生的概率的計算方法，考查運用概率

知識解決實際問題的能力. 滿分12分.

(Ⅰ)解：因為甲坑內的3粒種子都不發芽的概率為，所以甲坑不需要補

種的概率為　

3個坑都不需要補種的概率

恰有1個坑需要補種的概率為

恰有2個坑需要補種的概率為

3個坑都需要補種的概率為

補種費用的分布為

	0	10	20	30
P	0.670	0.287	0.041	0.002

的數學期望為

19． 本小題主要考查等比數列的基本知識，考查分析問題能力和推理能力，滿分12分.

解：(Ⅰ)因為是等比數列，

當

上式等價于不等式組：　　　 ①

或　 ②

解①式得q>1；解②，由于n可為奇數、可為偶數，得－1<q<1.

綜上，q的取值范圍是

(Ⅱ)由

于是

18．本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關知識及思維能力和空間想象能力.考查應用向量知識解決數學問題的能力.滿分12分.

　 方案一：

(Ⅰ)證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD.

因而，CD與面PAD內兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD.

又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

(Ⅱ)解：過點B作BE//CA，且BE=CA，

則∠PBE是AC與PB所成的角.

連結AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

所以四邊形ACBE為正方形.　 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，　 　　

(Ⅲ)解：作AN⊥CM，垂足為N，連結BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC,

∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角.

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，

.　　 ∴AB=2，

故所求的二面角的大小為

方法二：因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為

A(0，0，0)B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，.

(Ⅰ)證明：因

由題設知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD.

又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

　 (Ⅱ)解：因

則，

.

故AC與PB所成的角的大小為

(Ⅲ)解：在MC上取一點N(x，y，z)，則存在使

要使

為所求二面角的平面角.

(本題也可通過求兩個平面的法向量所成角來確定二面角的平面角)

17．本小題主要考查三角函數性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力，滿分12分.

解：(Ⅰ)的圖像的對稱軸，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

由題意得

所以函數

(Ⅲ)證明：

所以曲線的切線斜率取值范圍為[－2，2]，而直線的斜率為，所以直線與函數的圖像不相切.

　(17)(本大題滿分12分)

設函數圖像的一條對稱軸是直線．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)求函數的單調增區間；

(Ⅲ)證明直線于函數的圖像不相切．

(18)(本大題滿分12分)

已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點．

(Ⅰ)證明：面PAD⊥面PCD；

(Ⅱ)求AC與PB所成的角；

(Ⅲ)求面AMC與面BMC所成二面角的大小．

(19)(本大題滿分12分)

設等比數列的公比為，前n項和．

(Ⅰ)求的取值范圍；

(Ⅱ)設，記的前n項和為，試比較與的大小．

(20)(本大題滿分12分)

9粒種子分種在3個坑內，每坑3粒，每粒種子發芽的概率為，若一個坑內至少有1粒種子發芽，則這個坑不需要補種，若一個坑內的種子都沒發芽，則這個坑需要補種．假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元，用ξ表示補種費用，寫出ξ的分布列并求ξ的數學期望．(精確到)

(21)(本大題滿分14分)

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值．

(22)(本大題滿分12分)

(Ⅰ)設函數，求的最小值；

(Ⅱ)設正數滿足，證明：

(13)若正整數m滿足，則m = 　　155　 ．

[解析]∵，∴，即，

　　　　　　　 ∴，即 ，∴．

[點撥]把指數形式化成對數形式．

(14)的展開式中，常數項為　　 672　 ．(用數字作答)

[解析]的通項公式為，令得，，∴常數項為

[點撥]熟悉二項式定理的展開式的通項公式．

(15)的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數　　　 　　 ．

[解析](特例法)設為一個直角三角形，則O點斜邊的中點，H點為直角頂點，這時有，∴．(但當為正三角形時，m∈R)

[點撥]由特殊情況去檢驗一般情況．

(16)在正方體中，過對角線的一個平面交于E，交于F，則

①四邊形一定是平行四邊形

②四邊形有可能是正方形

③四邊形在底面ABCD內的投影一定是正方形

④四邊形有可能垂直于平面

以上結論正確的為　　　　　　 ．(寫出所有正確結論的編號)

[解析]①平面與相對側面相交，交線互相平行，

∴四邊形一定是平行四邊形；

②四邊形若是正方形，則，又，

∴平面，產生矛盾；

　　　　　　　 ③四邊形在底面ABCD內的投影是正方形；

　　　　　　　 ④當E、F分別是、的中點時，，又平面，

　　　　　　　 ∴四邊形有可能垂直于平面；

[點撥]邊觀察、邊推導．

(1)復數(　)

(A)　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

[解析]∵，故選A．

[點撥]對于復數運算應先觀察其特點再計算，會簡化運算．

(2)設為全集，是的三個非空子集，且，則下面論斷正確的是(　)

(A)　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　 (D)

[解析]∵所表示的部分是圖中藍色

的部分，所表示的部分是圖中除去的部分，

∴，故選C．

[點撥]利用韋恩圖求解．

(3)一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為　　(　　　 )

(A)　　　　 (B)　　　 (C)　　　　 (D)

[解析]∵截面圓面積為，∴截面圓半徑，

　　　　　　　 ∴球的半徑為，

　　　　　　　 ∴球的表面積為，故選B．

[點撥]找相關的直角三角形．

(4)已知直線過點，當直線與圓有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　

(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)

將化為，

　　　　　　 ∴該圓的圓心為，半徑，

設直線的方程為，即，設直線到圓心的距離為，則

∵直線與圓有兩個交點，∴，

∴，∴．故選C．

[點撥]利用圓心到直線的距離解直線與圓的位置關系．

(5)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且均為正三角形，EF∥AB，EF=2，則該多面體的體積為(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　 (B)

(C)　　　　　　　　　　　　　　 (D)

[解析]過A、B兩點分別作AM、BN垂直于EF，垂足分別為M、N，連結DM、CN，可證得DM⊥EF、CN⊥EF，多面體ABCDEF分為三部分，多面體的體積V為

，∵，，∴，作NH垂直于點H，則H為BC的中點，則，∴，∴，

，，∴，故選A．

[點撥]將不規則的多面體分割或補全為規則的幾何體進行計算．

(6)已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為(　 )

(A)　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　　　　　 (C)　　　　　　　　　 (D)

[解析]由得，∴，拋物線的準線為，因為雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，所以，解得，所以，所以離心率為，故選D．

[點撥]熟悉圓錐曲線各準線方程．

(7)當時，函數的最小值為(　　 )

(A)2　　　　　　　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　　　　　　 (C)4　　　　　　　　　　　　 (D)

[解析]

　 ，當且僅當，即時，取“”，∵，∴存在使，這時，故選．

[點撥]熟練運用三角函數公式進行化簡運算．

(8)設，二次函數的圖像為下列之一

則的值為(　)

(A)　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　 (D)

[解析]∵，∴圖像不能以軸為對稱軸，∴一、二兩個圖不符；第四個圖可知，，故其對稱軸為，所以也不符合；只有第三個圖可以，由圖象過原點，得，開口向下，所以，故選B．

[點撥]熟悉二次函數圖象的特點，分析對稱軸、與軸的交點等形與數的關系．

(9)設，函數，則使的的取值范圍是( 　)

(A)　　　 (B)　　 (C)　　　 (D)

[解析]∵，，∴，解得　 或(舍去)，

　　　　　　　 ∴，故選C．

[點撥]熟悉對數的性質．

(10)在坐標平面上，不等式組所表示的平面區域的面積為(　)

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)2

[解析]原不等式化為或，

所表示的平面區域如右圖所示，，， ∴，故選B．

[點撥]分類討論，通過畫出區域，計算面積．

(11)在中，已知，給出以下四個論斷：

①　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

③　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

其中正確的是(　　 　)

(A)①③　　　　　　 (B)②④　　　　　　 (C)①④　　　　　　　　　 (D)②③

[解析]∵，，

∴，∴，

∵，∴①不一定成立，

∵，∴，∴②成立，

∵，∴③不一定成立，

∵，∴④成立，故選B．

[點撥]考查三角公式的靈活運用．

(12)過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有(　　　 )

(A)18對　　　　　 (B)24對　　　　　 (C)30對　　　　　 (D)36對

[解析]解法一：(直接法)

①與上底面的、、成異面直線的有15對；

②與下底面的、、成異面直線的有9對(除去與上底面的)；

③與側棱、、成異面直線的有6對(除去與上下底面的)；

④側面對角線之間成異面直線的有6對；

所以異面直線總共有36對．

解法二：(間接法)

①共一頂點的共面直線有對；

②側面互相平行的直線有6對；

③側面的對角線有3對共面；

所以異面直線總共有對．

[點撥]解排列組合題的關鍵是分好類．

第Ⅱ卷