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1.已知直線l₁:x+ay+1=0與直線l₂:x－2y+2=0垂直，則a的值為　　 D

A.2　　　　　　　　 B.－2　　　　　　　　　　　　　 C.－ 　　　　　　　　　　　 D.

6、直線在y軸上的截距是－1，且它的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則　　　　　　 　 (　　 )

A．　 B． C．　　　　　　　 D．

平行直線x－y+1 = 0，x－y－1 = 0間的距離是(B) 　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　 D．

(三)解答題

16.已知平面α和不在這個平面內的直線a都垂直于平面β，求證a∥α.

17.如圖，正方形ABCD，E、F分別在AB、CD的中點，G為BF的中點，現將正方形沿EF折成 120°的二面角.求①異面直線EF和AG所成的角；②AG和平 面EBCF所形成的角.

18.圓柱底面半徑是3，高是4，A與B分別是兩底的圓周上的點，且AB＝5，求異面直線AB與OO ₁間的距離。

19.如圖，已知二面角α-PQ-β為60°，點A和B分別在平面α和平面β內，點C在棱PQ 上，且∠ACP=∠BCP=30°AC=BC　 ①求證AB⊥PQ；②求直線PQ

在面ABC所成角的大小.

20.如圖，設ABCD是矩形，沿對角線DB將ABDC折起，使點C在底面DAB上的射影E恰好落在 AB邊上

(1)求證：平面ABC⊥平面ACD。

(2)若AB＝2，BC＝，求二面角C-AD-B的大小及三棱錐C-ABD的體積。

(二)填空題

11.兩條異面直線所成的角為θ，則cosθ的取值范圍是　　　　　　　 .

12.棱長為1的正方體，PA、PB、PC是共一個頂點P的三條棱，那么點P到平面ABC的距離是　　　　　　　 .

13.從三棱錐六條棱的中點中，任選四個作為四邊形的頂點.其中為平行四邊形的個數有 個.

14.正方體ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角為　　　　 .

15.正四棱錐S-ABCD的高為2，底面邊長為，P、Q兩點分別在線段BD和SC上 ，則P、Q兩點的最短距離為　　　　　 .

(一)選擇題

1.有下列四個命題：

(1)n條直線中，若任意兩條都共面，則這n條直線都共面

(2)分別與兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線

(3)空間中有三個角是直角的四邊形是矩形

(4)兩條異面直線在同一平面內的射影不可能是平行線

其中，真命題的個數為(　　 )

A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3

2.下列命題中，真命題是(　　 )

A.若直線m、n都平行于平面α則m∥n

B.設α-l-β是直二面角，若直線m⊥l,則m⊥β

C.若m、n在平面α內的射影依次是一個點和一條直線，且m⊥n,則n在α內或n與α平行

D.若直線m、n是異面直線，若m與平面α平行，則n與α平行，則n與α相交

3.已知直線a、b和平面α，下列命題正確的是(　　 )

(1)　　　　　　　 (2)

(3) 　　　　　　　(4) 　

A.(1)(2)　　　　　　　　　　　　 B.(1)(2)(3)

C.(1)(2)(4)　　　　　　　　　　 　D.(2)(3)(4)

4.設α、β是兩個不重合的平面，m和l是兩條不重合的直線，則α∥β的一個充分條(　　 )

A.lα，mα且l∥β，m∥β

B.lα， mβ且l∥m

C.l⊥α，m⊥β，且l∥m

D.l∥α，m∥β且l∥m

5.四棱柱成平行六面體的充分但不必要條件是(　　 )

A.底面是矩形　 　　　　　　　　　　B.側面是平行四邊形

C.一個側面是矩形　　　　　　　　　 D.兩個相鄰側面是矩形

6.二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，ACα，BCβ，如果∠ACF=30°，∠ACB=60° ，∠BCF=θ，那么cosθ的值等于，則(　　 )

A.　　　 B.　　　 C.　　 D.

7.如圖，有共同底邊的等邊△ABC和等邊三角形BCD所在平面互相 垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為(　 )

A.　　　　 B.　　　 C.　　　　 D.

8.正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中截面AB₁C和截面A₁B₁C所成的二面角的大小(　　 )

A.45°　　　 　　　　　　　　　　B.60°

C.arccos　 　　　　　　　　　D.arccos

9.如圖，BCDE是一個正方形，AB⊥平面CE，側圖中相互垂直的平面有(　　 )

A.3組　　　　　　 B.6組

C.7組　　　　　　 D.8組

10.正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC₁與平面ABCD所成二面角的正弦值是(　　 )

A.　　　 B.　　　 　C.　　　 　D.

(二)空間直線和平面

例15　 如果直線l是平面α的斜線，那么在平面α內(　　 )

A.不存在與l平行的直線

B.不存在與l垂直的直線

C.與l垂直的直線只有一條

D.與l平行的直線有無窮多條

解　 A正確。若存在l′α且l′∥l，那么，或者l∥α或者lα，均與“l是 α的斜線”矛盾

由A.正確D.錯誤

由三垂線定理知，B、C均不正確。

例16　 如圖(1)，ABCD是正方形，E是AB中點，如 將△DAE和△CBE分別沿虛線DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點為P，則面PCD與 面ECD所成的二面角為　　　　 度.

解：在圖(2)上作PH⊥CD于H，設正方形ABCD的邊長1.

易知PD＝l，PC＝l，∴H為DC中點.

又ED＝EC.

∴EH⊥DC于H.

設∠PHE＝θ，則θ為面PCD與面ECD所成二面角的大小.

在△PDC中，由PD＝PC＝DC＝l，得PH＝，

在△EDC中，由EH＝

　　　　　　　　 ＝＝l，

又P是A、B重合的點，故PE＝AE＝.

用余弦定理于△PHE，有

cosθ＝cos∠PHE＝

　　　　　　　 ＝，

由于θ∈(0，180°)，得θ＝30°.

應填30°.

例17　 已知：如圖，平面α∩平面β＝直線a，α 、β同時垂直于平面 r，又同時平行于直線b.

求證：(1)a⊥γ，(2)b⊥γ.

證明：(1)設α∩γ＝m，β∩γ＝n.

在直線a上任選不在平面γ上的點A，作AO⊥m于O，AO′⊥n于O′.

∵AOα，α⊥γ且α∩γ＝m，AO⊥m，

∴AO⊥γ(兩面垂直，則在其中一個平面上且垂直于交線的直線必垂直于另一個面).同理AO ′⊥γ.

但平面γ外的點A在平面γ的射影唯一.

∴O和O′重合于m，n的交點.

即直線a⊥平面γ.

(2)∵b∥平面α，

∴存在b′α，b′≠a；滿足b∥b′.

又b∥β，從而b′∥β.

因為平面α過b′且交平面β于a，

∴b′∥a，從而b∥a.

由a⊥γ，得b⊥γ.

例18　 如果直線l，m與平面α、β、γ滿足：l＝β∩ r，l∥α

，mα，和m⊥γ，那么必有(　　 )

A.α⊥γ且l⊥m

B.α⊥γ且m∥β

C.m∥β且l⊥m

D.α∥β且α⊥γ

解：∵mα，m⊥γ，

∴γ⊥α，

∵lγ，m⊥γ，

∴m⊥l.

即在題設的條件下必有γ⊥α且l⊥m.

應選A.

例19　 如圖1-37，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E ∈BB₁，截面A₁EC⊥側面AC₁.

(1)求證：BE＝EB₁；

(2)若AA₁＝A₁B₁，求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數 .

注意：在下面橫線上填寫適當內容，使之成為(1)的完成證明，并解答(2).

證明：在截面A₁EC內，過E作EG⊥A₁C，G是垂足.

(Ⅰ)∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴EG⊥側面AC₁，取AC的中點F，連結BF、FG，由AB＝BC得BF⊥FC.

(Ⅱ)∵　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

∴BF⊥側面AC₁，得BF∥EG，BF、EG確定一個平面，交側面AC₁于FC.

(Ⅲ)∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴BF∥EG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE＝FG.

(Ⅳ)∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴FG∥AA₁，ΔAA₁C∽ΔFGC，

(Ⅴ)∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴FG=AA₁＝BB₁，即BE=BB₁，故BE＝EB₁.

解：(1)(Ⅰ)∵面A₁EC⊥側面AC₁，

(Ⅱ)∵而面ABC⊥側面AC₁，

(Ⅲ)∵BE∥側面AC₁，

(Ⅳ)∵BE∥AA₁，

　　 　　(Ⅴ)∵AF＝FC.

(2)分別延長CE、C₁B₁交于點D，連結A₁D.

∵EB₁∥CC₁，EB₁＝BB₁＝CC₁，

∴DB₁＝DC₁＝B₁C₁＝A₁B₁，

∵∠B₁A₁C₁＝∠B₁C₁A₁＝60°

∠DA₁B₁＝∠A₁DB₁＝ (180°-∠DB₁A₁)＝30°

即DA₁⊥A₁C₁

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁在平面A₁C₁D上的射影，根據三垂線定理得DA₁⊥A₁C，

∴∠CA₁C是所求二面角的平面角.

∵CC₁＝AA₁＝A₁B₁＝A₁C₁，∠A₁C₁C＝90°，

∴∠CA₁C₁＝45°，即所求二面角為45°.

例20　 在空間中，下列命題成立的是(　　 )

A.過平面α外的兩點，必有且只有一個平面與平面α垂直

B.若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則直線l必平行于平面α

C.若直線l與平面α內的無數多條直線垂直，則直線l必垂直于平面α

D.互相平行的兩條直線在一個平面內的射影仍然是互相平行的兩條直線

E.若點P到三角形的三條邊的距離相等，則點P在該三角形所在平面內的射影必然是該三角形的內心

解：A不正確.若平面α外的兩點A、B使直線AB⊥α，則過A、B兩點且與α垂 直的平面有無數多個.

B不正確.設l和α交于點O，在l上取OA＝OB，則A、B到平面α等距但直線AB 不平行于平面α.

C不正確.設l斜交α于O，在α內過O點作m⊥l，則α內與m平行的無數多條 直線都平行于l，但l與α不垂直.

D不正確.若互相平行的兩直線a，b所確定的平面β⊥α，則a，b在α內的 射影是一條直線.

E正確.由三垂線定理易證明它的正確性.

例21　 已知二面角α-AB-β的平面角是銳角θ，α內一點C到β的距離為3， 點C到棱的距離為4，那么tgθ的值等于(　　 )

A.　　　　　 B.　　　　 　C.　　　　　　 D.

解：如圖，CO⊥β于O，CD⊥AB于D，則CO＝3，CD＝4，∠CDO＝θ，∠COD＝90°.

∴tgθ＝

＝.

應選C.

例22　 下列命題中，錯誤的是(　　 )

A.若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這平面上所有的直線

B.若一個平面通過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直

C.若一條直線垂直于一個平面的一條垂線，則此直線平行于這個平面

D.若平面內的一條直線和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直

解：B為兩面垂直的一個判定定理.

A為線面垂直的性質定理.

C錯誤：設l⊥平面α，m∥l，若mα，則m∥α.

應選C.

例23　 下列四個命題中的真命題是(　　 )

A.若直線l平面α內兩條平行直線垂直，則l⊥α

B.若平面α內兩條直線與平面β內兩條直線分別平行，則α∥β

C.若平面α與直二角β-MN-r，棱MN交于點A，與二面角的面β，而r分別交于AB、AC，則∠BAC≤90°

D.以上三個命題都是假命題.

解：命題A不真

命題B不真；若這四條直線都平行，則有可能α∥β

命題C不真：

如圖

BC²＝BB′²+BC′²

＝BB′²+CC′²+B′C²

　 �。紹B′²+CC′²+(B′A+C′A)²

　　 　＞BB′²+CC′²+B′A′²+C′A²

　 ＝(BB′²+B′A²)+(CC′²+C′A²)

　 ＝BA²+CA²

∴∠BAC＞90°

應選D.

[同步達綱練習]

(一)綜合例題賞析

例11　 設a、b是兩條異面直線，那么下列四個命題中的假命題是(　　 )

A.經過直線a有且只有一個平面平行于直線b

B.經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b

C.存在分別經過直線a和b的兩個互相平行的平面

D.存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面

解：B是假命題，因為對于異面直線a、b，有時不存在過直線a且垂直于直線 b的平面.

如圖，直線a是圓柱體的軸線，M、N分別為上下底圓周上的點且MN∥a，令b為直線MN， 則a，b為異面直線.

過直線a的平面以直線a為軸旋轉，它們均與b不垂直.

例12　 已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一定點，則過點P與a、b 所成的角都是30°的直線有且僅有(　　 )

A.1條　　 B.2條　　 C.3條　　 D .4條

解：如圖過點作PA∥a，PB∥b，則∠APB的異面直線a、b所成的平面角，由已知∠APB＝50°.

作∠APB的平分線PO，任取O∈PO，作CO⊥平面APB，令CB⊥PA于A，CB⊥PB于B，則由三垂線

定理知，OA⊥PA于A，OB⊥PB于B.

考慮C點沿平面APB的垂線OC自O點出發向上移動，易知∠CPB∈(25°，90°)，

∴存在唯一點C使∠CPB＝∠CPA＝30°.

同理在垂線CO的下方還存在對稱點C′，使∠C′PA＝∠C′PB.

∴符合題設的直線有且只有兩條.應選B.

例13　 如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線BC₁與直線AC(　　 )

A.相交且垂直

B.相交但不垂直

C.異面且垂直

D.異面但不垂直

解：直線BC₁和AC異面不垂直.

∵BC₁∥AD₁，

∴∠CAD₁為異面直線AC，BC₁所成的角.

在△CAD₁中，CA＝AD₁＝D₁C.

∴∠CAD₁＝60°

即AC和BD₁成60°角.

應選D.

例14　 設a、b是異面直線，那么(　　 )

A.必然存在唯一的一個平面同時平行于直線a和b

B.必然存在唯一的一個平面同時垂直于直線a和b

C.過直線a存在唯一的一個平面平行于直線b

D.過直線a存在唯一的一個平面垂直于直線b

解：A不正確.因為垂直于異面直線a、b公垂線的任何一個平面都與a、b平行 .

B不正確.若a⊥α，且b⊥α，則a∥b，此與a、b異面矛盾.

C正確.

D不正確.有時過直線a的所有平面都與直線b不垂直.

∴應選C.

(十)直線與平面的綜合問題

例10已知如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2,AC=2,且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C。

(1)求側棱A₁A與底面ABC所成角的大小。

(2)求側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小。

(3)求側棱B₁B和側面A₁ACC₁的距離。

解　 (1)作A₁D⊥AC于D

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥ABC

所以∠A₁AD為A₁A與面ABC所成的角

因AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C，

所以　 ∠A₁AD＝45°為所求.

(2)作DE⊥AB于E，連結A₁E，由A₁D⊥面ABC得A₁E⊥AB(三垂線定理)

則　 ∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成的二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得DE∥BC，又D是AC中點，BC＝2，AC＝2

DE＝1，AC＝A₁D＝，tg∠A₁ED＝＝

故　 ∠A₁ED＝60°為所求.

(3)作BF⊥AC于F，由面A₁ACC₁⊥面ABC，知BF⊥面A₁ACC₁

因　 B₁B∥面A₁ACC₁

BF的長是B₁B和面A₁ACC₁的距離

在Rt△ABC中，AB＝＝2

所以　 BF＝

(九)點到直線、點到平面、直線與平面、平面與平面間的距離的定義及計算

例9　 已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝a，AC=b，沿高AD折成直二面角(如圖).(1)判斷此時△ABC的形狀；(2)求D到平面ABC的距離.

解：(1)DH⊥平面ABC，因DA、DB、DC兩兩互相垂直，故H為△ABC的垂心(證明略)，AE⊥BC，由cosθ=cosθ₁cosθ₂，得cos∠ABE=cos∠ABD ·cos∠DBC.

∵∠ABD和∠DBC分別為Rt△BDC的銳角，故0＜cos∠ABD，cos∠DBC＜1，

∴0＜cos∠ABE＜1，即∠ABC為銳角，

同理可證∠ABC、∠CAB均為銳角，∴△ABC為銳角三角形.

(2)解法一：設D到平面ABC的距離為x.∵V_D-ABC＝V_A-BDC得xS_ABC＝AD·S_△BDC，

解出 x＝.

解法二：作AE⊥BC，AD⊥平面DBC，故DE⊥BC.BC⊥平面ADE，平面ADE⊥平面ABC，作DH⊥AE ，則DH是D到平面ABC的距離(以點線距離代替點面距離).在Rt△ADE中，DH是斜邊AE上的高，解出

DH＝.

(八)二面角

例8　 如圖8(1)，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠C=135°,沿對 角線AC將四邊形折成直二面角(如圖8(2))

　　　　

圖8(1)

(1)求證：平面ABD⊥平面BCD；

(2)求平面ABD與平面ACD所成的角；

(3)求C到平面ABD的距離。

證明　 (1)因B-AC-D是直二面角，CD⊥AC，

故 CD⊥平面ABC.CD⊥AB，AB⊥BC

AB⊥平面BCD，AB平面ABD，

所以　 平面ABD⊥平面BDC。

解　 (2)如圖8(2)設M是AC的中點，則BC⊥AC，BM⊥平面ACD。作BN⊥AD，則MN⊥AD(三垂線定 理的逆定理).∠BNM為二面角B-AD-C的平面角。MN＝AM·sin∠CAD＝a·=，MB=a.在Rt△BMN中，tg∠BNM==,

則　 二面角B-AD-C是60°的二面角。

(3)由(1)知，平面ABD⊥平面BCD，

作CH⊥BD，則CH⊥平面ABD。

CH=a，故C到平面ABD的距離為a.