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(一)綜合例題賞析 例11 設a.b是兩條異面直線.那么下列四個命題中的假命題是( ) A.經過直線a有且只有一個平面平行于直線b B.經過直線a有且只有一個平面垂直于直線b C.存在分別經過直線a和b的兩個互相平行的平面 D.存在分別經過直線a和b的兩個互相垂直的平面 解:B是假命題.因為對于異面直線a.b.有時不存在過直線a且垂直于直線 b的平面. 如圖.直線a是圓柱體的軸線.M.N分別為上下底圓周上的點且MN∥a.令b為直線MN. 則a.b為異面直線. 過直線a的平面以直線a為軸旋轉.它們均與b不垂直. 例12 已知異面直線a與b所成的角為50°.P為空間一定點.則過點P與a.b 所成的角都是30°的直線有且僅有( ) A.1條 B.2條 C.3條 D .4條 解:如圖過點作PA∥a.PB∥b.則∠APB的異面直線a.b所成的平面角.由已知∠APB＝50°. 作∠APB的平分線PO.任取O∈PO.作CO⊥平面APB.令CB⊥PA于A.CB⊥PB于B.則由三垂線 定理知.OA⊥PA于A.OB⊥PB于B. 考慮C點沿平面APB的垂線OC自O點出發向上移動.易知∠CPB∈. ∴存在唯一點C使∠CPB＝∠CPA＝30°. 同理在垂線CO的下方還存在對稱點C′.使∠C′PA＝∠C′PB. ∴符合題設的直線有且只有兩條.應選B. 例13 如圖.正方體ABCD-A1B1C1D1中.直線BC1與直線AC( ) A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.異面且垂直 D.異面但不垂直 解:直線BC1和AC異面不垂直. ∵BC1∥AD1. ∴∠CAD1為異面直線AC.BC1所成的角. 在△CAD1中.CA＝AD1＝D1C. ∴∠CAD1＝60° 即AC和BD1成60°角. 應選D. 例14 設a.b是異面直線.那么( ) A.必然存在唯一的一個平面同時平行于直線a和b B.必然存在唯一的一個平面同時垂直于直線a和b C.過直線a存在唯一的一個平面平行于直線b D.過直線a存在唯一的一個平面垂直于直線b 解:A不正確.因為垂直于異面直線a.b公垂線的任何一個平面都與a.b平行 . B不正確.若a⊥α.且b⊥α.則a∥b.此與a.b異面矛盾. C正確. D不正確.有時過直線a的所有平面都與直線b不垂直. ∴應選C. 【查看更多】

 

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