1.已知集合則集合＝
（A）（B）（C） （D）
C、D到平面的距離為1、2，同理可得B到平面的距離為1；所以選①③。
（17）（本大題滿分12分）已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
解：(Ⅰ)由，得，所以＝。
（Ⅱ）∵，∴。
（18）（本大題滿分12分）在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑。現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。
（Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；
（Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率；
解：設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B
（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1種：；芳香度之和等于2的取法有1種：，故。
（19）（本大題滿分12分）如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。
（Ⅰ）證明⊥；
（Ⅱ）求面與面所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，為等腰三角形，
∵P在平面ABC內(nèi)的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影；∵O為BF中點(diǎn)，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點(diǎn)，ABCDEF是正六邊形 ，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，∴，，。
過(guò)O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以為所求二面角平面角。
在中，OH=，=。
在中，；
而
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，
設(shè)平面PAB的法向量為，則，，得，；
設(shè)平面PDB的法向量為，則，，得，；
（20）（本大題滿分12分）設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。
（Ⅰ）求、的值。
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間與極值。
證明（Ⅰ）∵，∴。從而＝是一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而，由此可知，
和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；
是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；
在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。
（21）（本大題滿分12分）在等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足條件，
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。
解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得：，所以，即，又＝，所以。
（Ⅱ）由，得。所以，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
即。
（22）（本大題滿分14分）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程。
解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，。
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，雙曲線為，設(shè)P，則，，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，
又，由得：，解得，則，所以為所求。
B、C到平面的距離為1、2，D到平面的距離為，則，即，所以D到平面的距離為1；
請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上書(shū)寫(xiě)作答無(wú)效。
（13）設(shè)常數(shù)，展開(kāi)式中的系數(shù)為，則＝_____。
解：，由。
（14）在中，，M為BC的中點(diǎn)，則_______。（用表示）
解：，，所以。
（15）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________。
解：由得，所以，則。
（16）平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，已知其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離可能是：
①1； ②2； ③3； ④4；
以上結(jié)論正確的為_(kāi)_____________。（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）
解：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤。
（17）（本大題滿分12分）已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
解：(Ⅰ)由得，即，又，所以為所求。
（Ⅱ）=
===。
（18）（本大題滿分12分）在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用兩種不同的添加劑。現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)。用表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和。
（Ⅰ）寫(xiě)出的分布列；（以列表的形式給出結(jié)論，不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）
（Ⅱ）求的數(shù)學(xué)期望。（要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程或說(shuō)明道理）
解：（Ⅰ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
（19）（本大題滿分12分）如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn)，，P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點(diǎn)O。
（Ⅰ）證明⊥；
（Ⅱ）求面與面所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，為等腰三角形，
∵P在平面ABC內(nèi)的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影；∵O為BF中點(diǎn)，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點(diǎn)，ABCDEF是正六邊形 ，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，∴，，。
過(guò)O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以為所求二面角平面角。
在中，OH=，=。
在中，；
而
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，
設(shè)平面PAB的法向量為，則，，得，；
設(shè)平面PDB的法向量為，則，，得，；
（20）（本大題滿分12分）已知函數(shù)在R上有定義，對(duì)任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有
（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明 其中和均為常數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)（Ⅱ）中的時(shí)，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值。
證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，則。
假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假設(shè)時(shí)，，則，而，∴，即成立。∴成立。
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，
令，得；
當(dāng)時(shí)，，∴是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，∴是單調(diào)遞增函數(shù)；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)取得極小值，極小值為
（21）（本大題滿分12分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知
（Ⅰ）寫(xiě)出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。
解：由得：，即，所以，對(duì)成立。
由，，…，相加得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，也成立。
（Ⅱ）由，得。
而，
，
（22）（本大題滿分14分）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程。
解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，。
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，
又，由得：，解得，則，所以為所求。
請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上書(shū)寫(xiě)作答無(wú)效。
（13）設(shè)常數(shù)，展開(kāi)式中的系數(shù)為，則_____。
解：，由，所以，所以為1。
（14）在中，，M為BC的中點(diǎn)，則_______。（用表示）
解：，，所以。
（15）函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________。
（16）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱(chēng)為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距離可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上結(jié)論正確的為_(kāi)_____________。（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）
4．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回。
參考公式：
如果時(shí)間A、B互斥，那么
如果時(shí)間A、B相互獨(dú)立，那么
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率
球的表面積公式，其中R表示球的半徑
球的體積公式，其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
（1）復(fù)數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
解：故選A
（2）設(shè)集合，，則等于（ ）
A． B． C． D．
解：，，所以，故選B。
（3）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（ ）
A． B． C． D．
解：橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0)，則，故選D。
（4）設(shè)，已知命題；命題，則是成立的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解：命題是命題等號(hào)成立的條件，故選B。
（5）函數(shù) 的反函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
解：有關(guān)分段函數(shù)的反函數(shù)的求法，選C。
（6）將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
解：將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為，由圖象知，，所以，因此選C。
（7）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）
A． B． C． D．
解：與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A
（8）設(shè)，對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．有最大值而無(wú)最小值 B．有最小值而無(wú)最大值
C．有最大值且有最小值 D．既無(wú)最大值又無(wú)最小值
解：令，則函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)的值域，又，所以是一個(gè)減函減，故選B。
（9）表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為
A． B． C． D．
解：此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為的正三角形，所以由知，，則此球的直徑為，故選A。
（10）如果實(shí)數(shù)滿足條件 ，那么的最大值為（ ）
A． B． C． D．
解：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(0，-1)時(shí)，最大，故選B。
（11）如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（ ）
A．和都是銳角三角形 B．和都是鈍角三角形
C．是鈍角三角形，是銳角三角形
D．是銳角三角形，是鈍角三角形
解：的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由，得，那么，，所以是鈍角三角形。故選D。
（12）在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為（ ）
A． B． C． D．
解：在正方體上任選3個(gè)頂點(diǎn)連成三角形可得個(gè)三角形，要得直角非等腰三角形，則每個(gè)頂點(diǎn)上可得三個(gè)(即正方體的一邊與過(guò)此點(diǎn)的一條面對(duì)角線)，共有24個(gè)，得，所以選C。
2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（安徽卷）理科數(shù)學(xué)
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
注意事項(xiàng)：
3．答第Ⅱ卷時(shí)，必須用0.5毫米墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)。在試題卷上作答無(wú)效。
2．答第Ⅰ卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。
1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的座位號(hào)、姓名，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上所粘貼的條形碼中“座位號(hào)、姓名、科類(lèi)”與本人座位號(hào)、姓名、科類(lèi)是否一致。
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