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題目列表(包括答案和解析)

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2．若f[g(x)] = 9x+3，且g(x) = 3x+1，則f(x)的解析式為　　　　　　　　　 (　 )

　 A．3x　　 B．3　　 C．9(3x+1) +1　　 D．3(9x+3) +1

試題詳情

1．函數的定義域為　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )

A．[0， ]　　 B．[0，3]　　 C．[-3，0]　　 D．(0，3)

試題詳情

2．求函數的定義域，主要涉及以下幾個方面：

　　　 ①分式的分母不為零；②對數函數的真數都必須大于零，底數必須大于零且不為1；③偶次方根的被開方數非負；④零次冪的底數不為零，等．

　　　對于實際問題，還應注意變量的實際意義或物理意義．

　　　復合函數的定義域是使各部分都有意義的自變量取值范圍的交集．

[訓練反饋]

試題詳情

1．求函數的解析式的方法通常有待定系數法、配方法、換元法，有時還要用到方程的思想．

試題詳情

0.1x-125=75，

　　　解得　 x=2000．

　　　答：該職員的該月工資、薪金收入為2000元．

　　　點評　 (1)函數的表示法有：解析法、列表法、圖象法；而解析式中包含一類重要的函數--分段函數：對應于自變量x的不同取值范圍，對應關系也不同．分段函數不管x被分成了幾段，它仍是一個函數，而不是幾個函數，它由幾個部分構成了一個函數；

(2)寫函數解析式時，不要忘了寫上函數的定義域；對于實際問題，還不要忘了問題的實際意義．

變題　在原題的條件下，若設某人一月份應繳納此項稅款26.78元，則他當月工資總收入介于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( D )

　　　 A．500~600元　　 B．900~1200元　 C．1200~1500元　 D．1500~1800元

例4　 (1)設f(x)是一次函數，且f[f(x)]=4x+3，求f(x)．

　　　 (2)設，求f(x+1)．

　　　 (3)若f(x)滿足f(x)+2f()=x，求f(x)．

　　　分析　 (1)已知了函數f(x)的類型，可采用待定系數法；

(2)視()為整體，采用換元法或配方法可求得f(x)的解析式，再用(x+1)整體代換f(x)中的x，即可求出f(x+1)的解析式；

(3)注意到x 與互為倒數，可通過倒數代換聯立方程組解出f(x)．

　　　解　 (1)設f(x)=ax+b(a≠0)，則f[f(x)]=af(x)+b=a (ax+b)+b=a²x+ab+b，

　　　 ∴ 或，∴ f(x)=2x+1或f(x)= -2x-3．

　　　 (2)解法一　 ∵ ，∴ f(x)=x²-1 (x≥1)，

∴ f(x+1)= (x+1)²-1 = x²+2x (x≥0)．

解法二　令t=，則= t-1，∴f(t)= (t-1)²+2(t-1)= t²-1．

又t=≥1，∴ f(x)=x²-1 (x≥1)，從而f(x+1)= x²+2x (x≥0)．

(3)在f(x)+2f()=x ①中，用代換x得 f()+2 f(x)= 　②，

聯立①、②解得　．

點評　 (1)正確理解函數的概念，是求抽象函數解析式的關鍵；

(2)求抽象函數的解析式常用配湊法(如題(2)的解法一)、換元法(如題(2)的解法二)、待定系數法(如題(1)的解答)以及取倒相消法(如題(3)的解答)等；

(3)在用換元法或配湊法求解析式時，應注意中間變量的取值范圍，以確定函數f(x)的定義域．在題(2)中，由f(x)的定義域是{x∣x≥1}，則在f(x+1)中必須x+1≥1，即x≥0，從而f(x+1)的定義域是{x∣x≥0}．

　　　變題　已知f(x)是定義在R上的函數，且f(1)=1，對任意x∈R都有下列兩式成立：

　　　 (1)f(x+5)≥f(x)+5；

(2)f(x+1)≤f(x)+1．

若g(x)=f(x)+1-x，求g(6)的值．

提示：反復利用條件(2)，有

f(x+5) ≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5，(★)

結合條件(1)得　 f(x+5)=f(x)+5．

于是，由(★)，可得　 f(x+1) = f(x)+1．

　　　故　 g(6)=f(6)+1-6= [f(1)+5 ]-5=1．

　　　注意：數列{f(n)}(n∈N*)構成公差是1的等差數列．

[知能集成]

試題詳情

5．已知函數f(x) = lg的定義域為A，函數g(x)=lg(1+x) – lg(1-x)的定義域為B，則下述關于A、B關系不正確的為　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　 A．AÊB　　 B．A∪B=B　　 C．A∩B=B　　 D．B(≠A

[講練平臺]

例1　求函數的定義域．

分析　根據有關條件列出不等式組，再求出不等式組的解集即為所求函數的定義域．

解　由函數解析式有意義，得

　　　 Þ0＜x＜1或1＜x≤2，或x≥3．

故函數的定義域是．

　　　點評　 (1)求以解析式給出的函數定義域時，應遵循以下幾條原則：①分式的分母不為零；②偶次根號下被開方數非負；③在a°中底數a≠0；④若f(x)是由幾個部分構成的，則應采用交集法；⑤實際問題結合變量的實際意義來確定，等等；

(2)求不等式組的解集，通常借助數軸的直觀性；

(3)函數的定義域一般應用集合或區間形式表示，在用區間表示時，要弄清區間端點的歸屬，正確使用開區間和閉區間符號，需特別注意的是，“∞”不是一個確定的數，而是一個變化趨勢，只能用開區間；

(4)必須把所有的限制條件都列出來，特別是在中，x-1≠0，不能遺漏．

　　　例2　若函數　y=lg(x²+ax+1)的定義域為R，求實數a的取值范圍．

分析　由函數　y=lg(x²+ax+1)的定義域為R知：x²+ax+1＞0對x∈R恒成立，而f(x)= x²+ax+1為二次函數，函數值恒正，故可利用“△”法求解．

解　因函數　y=lg(x²+ax+1)的定義域為R，故x²+ax+1＞0對x∈R恒成立，而f(x)= x²+ax+1是開口向上的拋物線，從而△＜0，即a²-4＜0，解得 -2＜a＜2，它便是所求的a的取值范圍．

點評　　　 (1)“△”法可判斷一元二次函數值恒正、恒負或非正、非負；

(2)必須注意所用△的值是大于零、小于零、還是不大于零、不小于零．如下面的問題：關于x的不等式x²+ax+1＜0的解集為，試求實數a的取值范圍．問題便等價于x²+ax+1≥0的解集為R，從而有△≤0，解得 –2≤a≤2．

變題1　已知函數　y=lg(x²+ax+1)的值域為R，求a的取值范圍．

提示：利用△≥0Þ a≥2或a≤-2．

變題2　已知函數　y=lg(ax²+ax+1)的定義域為R，求a的取值范圍．

提示：分a＞0與a=0的兩種情況求解，其答案為0≤a＜4．

思考：變題1、變題2及原題，它們的區別何在？

例3　《中華人民共和國個人所得稅法》第十四條中有下表：

個人所得稅稅率表一(工資、薪金所得適用)

級別	全月應納稅所得額	稅率(%)
1 2 3 4 5 6 7 8 9	不超過500元部分超過500元至2000元部分超過2000元至5000元部分超過5000元至20000元部分超過20000元至40000元部分超過40000元至60000元部分超過60000元至80000元部分超過80000元至10000元部分超過100000元部分	5 10 15 20 25 30 35 40 45