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（本小題滿分14分）

已知函數對于任意（），都有式子成立（其中為常數）．

（Ⅰ）求函數的解析式；

（Ⅱ）利用函數構造一個數列，方法如下：

對于給定的定義域中的，令，，…，，…

在上述構造過程中，如果（=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果不在定義域中，那么構造數列的過程就停止.

（ⅰ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求的取值范圍；

（ⅱ）是否存在一個實數，使得取定義域中的任一值作為，都可用上述方法構造出一個無窮數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（ⅲ）當時，若，求數列的通項公式．

．在求某些函數的導數時，可以先在解析式兩邊取對數，再求導數，這比用一般方法求導數更為簡單，如求的導數，可先在兩邊取對數，得，再在兩邊分別對x求導數，得即為,即導數為。若根據上面提供的方法計算函數的導數，則 _        

 

某上市股票在30天內每股的交易價格（元）與時間（天）所組成的有序數對落在下圖中的兩條線段上，該股票在30天內的日交易量（萬股）與時間（天）的部分數據如下表所示．

 

第t天	4	10	16	22
Q（萬股）	36	30	24	18

 

 

 

⑴根據提供的圖象，寫出該種股票每股交易價格（元）與時間（天）所滿足的函數關系式；

⑵根據表中數據確定日交易量（萬股）與時間（天）的一次函數關系式；

⑶在（2）的結論下，用（萬元）表示該股票日交易額，寫出關于的函數關系式，并求這30天中第幾天日交易額最大，最大值為多少？

【解析】（1）根據圖象可知此函數為分段函數，在（0，20]和（20，30]兩個區間利用待定系數法分別求出一次函數關系式聯立可得P的解析式；

（2）因為Q與t成一次函數關系，根據表格中的數據，取出兩組即可確定出Q的解析式；

（3）根據股票日交易額=交易量×每股較易價格可知y=PQ，可得y的解析式，分別在各段上利用二次函數求最值的方法求出即可．

 

已知函數y=f（x）滿足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均為常數）
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述構造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，構造數列的過程繼續下去；如果x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個常數列{x_n}，求a的取值范圍；
②如果取定義域中的任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求a實數的值．

已知函數f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數f(x)的圖像上去定點A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當時單調遞減；當時單調遞增，故當時，取最小值

于是對一切恒成立，當且僅當.　　　　　　　　①

令則

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當時，單調遞減；當時，單調遞增.故當，即

從而，又

所以因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點評】本題考查利用導函數研究函數單調性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數與方程思想等數學方法.第一問利用導函數法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設存在的情況下進行推理，然后把問題歸結為一個方程是否存在解的問題，通過構造函數，研究這個函數的性質進行分析判斷.