題目列表(包括答案和解析)
1．已知直線
與
垂直，垂足為
，則
的值為( )
(A) 20 (B) 24
(C) 0 (D) －4
5．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來幫助理解”。
4．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中，
，…
3．三角學(xué)中的射影定理：在△ABC 中，
，…
2．三角形內(nèi)切圓的半徑：
，特別地，
；
1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是：
(1)已知兩角和一邊(如A、B、C)，由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
(2)已知兩邊和夾角(如a、b、c)，應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角(如a、b、A)，應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；
(4)已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。
題型1：正、余弦定理
(2009岳陽(yáng)一中第四次月考).已知△
中，
，
，
，
，
，則
( )
A.． 
B ．
C．
D．
或
答案 C
例1．(1)在
中，已知
，
，
cm，解三角形；
(2)在中，已知
cm，
cm，
，解三角形(角度精確到
，邊長(zhǎng)精確到1cm)。
解析：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，
；
根據(jù)正弦定理，
；
根據(jù)正弦定理，
(2)根據(jù)正弦定理，
因?yàn)?sub>
＜
＜
，所以
，或
①當(dāng)時(shí)， 
，
②當(dāng)
時(shí)，
，
點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用正弦定理時(shí)(1)應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形；(2)對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器
例2．(1)在
ABC中，已知
，
，
，求b及A；
(2)在ABC中，已知
，
，
，解三角形
解析：(1)∵
=
cos
=
=
∴
求
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵
＞
＜
∴
＜
，即＜＜
∴
(2)由余弦定理的推論得：
cos
；
cos
；
點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用余弦定理時(shí)解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。
題型2：三角形面積
例3．在
中，
，
，
，求
的值和的面積。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。
又
, 
,
。
解法二：由
計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值。
①
,
②
① + ② 得 
。
① － ② 得 
。
從而 
。
以下解法略去。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢？
例4．(2009湖南卷文)在銳角
中，
則
的值等于 ，
的取值范圍為 . 
答案 2
解析
設(shè)
由正弦定理得
由銳角得
，
又
，故
，
例5．(2009浙江理)(本題滿分14分)在中，角
所對(duì)的邊分別為
，且滿足
，
．
(I)求的面積； (II)若
，求
的值．
解 (1)因?yàn)?sub>，
，又由
得
，
(2)對(duì)于
，又，
或
，由余弦定理得
，
例6．(2009全國(guó)卷Ⅰ理)在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、
、
，已知
，且
求b
分析：:此題事實(shí)上比較簡(jiǎn)單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對(duì)已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對(duì)已知條件(2) 過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.
解法一：在中
則由正弦定理及余弦定理有:
化簡(jiǎn)并整理得：
.又由已知
.解得
.
解法二:由余弦定理得: 
.又,
.
所以
①
又
，
，即
由正弦定理得
，故
②
由①，②解得
.
評(píng)析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對(duì)正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對(duì)問題的分析和解決能力及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識(shí)和方法了解就行，不必強(qiáng)化訓(xùn)練
題型4：三角形中求值問題
例7．的三個(gè)內(nèi)角為
，求當(dāng)A為何值時(shí)，
取得最大值，并求出這個(gè)最大值。
解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；
當(dāng)sin = ，即A=時(shí), cosA+2cos取得最大值為。
點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用三角恒等式簡(jiǎn)化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。
例8．(2009浙江文)(本題滿分14分)在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，．
(I)求的面積； (II)若
，求的值．
解(Ⅰ)
又
，
，而
，所以
，所以的面積為：
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，而
，所以
所以
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應(yīng)用、分析和計(jì)算能力
題型5：三角形中的三角恒等變換問題
例9．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及
的值。
分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為
=a，再用正弦定理可求的值。
解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△ABC中，由余弦定理得：cosA=
=
=
，∴∠A=60°。
在△ABC中，由正弦定理得sinB=
，∵b2=ac，∠A=60°，
∴
=sin60°=
。
解法二：在△ABC中，
由面積公式得bcsinA=acsinB。
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴=sinA=。
評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。
例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求
的值。
解析：因?yàn)?i>A、B、C成等差數(shù)列，又A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，
從而
＝60°，故tan
.由兩角和的正切公式，
得
。
所以
。
點(diǎn)評(píng)：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時(shí)結(jié)合三角變換公式的逆用。
題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀
例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等邊三角形
答案：C
解析：2sinAcosB＝sin(A+B)+sin(A－B)又∵2sinAcosB＝sinC，
∴sin(A－B)＝0，∴A＝B
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑
例12．(2009四川卷文)在中，
為銳角，角所對(duì)的邊分別為
，且
(I)求
的值；
(II)若
，求的值。
解(I)∵為銳角，
∴ 
∵ 
∴ 
(II)由(I)知
，∴ 
由
得
，即
又∵
∴
∴
∴
題型7：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用
例13．(2009遼寧卷理)如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為
，
，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為
，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，
1.414，
2.449)
解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，
在△ABC中，
即AB=
因此，BD=
故B，D的距離約為0.33km。 。
點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識(shí)、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。
(2)((2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟
解：方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A 點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角
；B點(diǎn)到M，
N的俯角
；A，B的距離 d (如圖所示) .
②第一步：計(jì)算AM . 由正弦定理
；
第二步：計(jì)算AN . 由正弦定理
；
第三步：計(jì)算MN. 由余弦定理
.
方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：
A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角
，
；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角
，
；A，B的距離 d (如圖所示).
②第一步：計(jì)算BM . 由正弦定理
；
第二步：計(jì)算BN . 由正弦定理
；
第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理
21.(2009四川卷文)在中，為銳角，角所對(duì)的邊分別為，且
(I)求的值；
(II)若，求的值。
解(I)∵為銳角，
∴
∵
∴
(II)由(I)知，∴
由得
，即
又∵
∴
∴
∴
點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個(gè)典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號(hào)語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)
，這些解題思維的拐點(diǎn)，你能否很快的想到呢？
5．三角形中的三角變換
三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。
(1)角的變換
因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
；
(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。
r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長(zhǎng)之半。
(3)在△ABC中，熟記并會(huì)證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。
4．解三角形：由三角形的六個(gè)元素(即三條邊和三個(gè)內(nèi)角)中的三個(gè)元素(其中至少有一個(gè)是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形
解斜三角形的主要依據(jù)是：
設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。
(1)角與角關(guān)系：A+B+C = π；
(2)邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
(3)邊與角關(guān)系：
正弦定理 
(R為外接圓半徑)；
余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA；
它們的變形形式有：a = 2R
sinA，
，
。
3．三角形的面積公式：
(1)△＝
aha＝bhb＝chc(ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高)；
(2)△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
(3)△＝
＝
＝
；
(4)△＝2R2sinAsinBsinC。(R為外接圓半徑)
(5)△＝
；
(6)△＝
；
；
(7)△＝r·s。
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