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45．(浙江卷)甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白球.兩甲，乙兩袋中各任取2個球.

(Ⅰ)若n=3，求取到的4個球全是紅球的概率；

(Ⅱ)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為，求n.

本題主要考察排列組合、概率等基本知識，同時考察邏輯思維能力和數學應用能力。

解：(I)記“取到的4個球全是紅球”為事件.

(II)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件，“取到的4個球只有1個紅球”為事件，“取到的4個球全是白球”為事件.由題意，得

所以，

化簡，得

解得，或(舍去)，

故　 .

44．(天津卷)甲、乙兩臺機床相互沒有影響地生產某種產品，甲機床產品的正品率是0.9，乙機床產品的正品率是0.95．

(Ⅰ)從甲機床生產的產品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用數字作答)；

(Ⅱ)從甲、乙兩臺機床生產的產品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率(用數字作答)．

本小題考查互斥事件、相互獨立事件的概率等基礎知識，及分析和解決實際問題的能力。　　 解：(I)任取甲機床的3件產品恰有2件正品的概率為

　　　 (II)解法一：記“任取甲機床的1件產品是正品”為事件A，“任取乙機床的1件產品是正品”為事件B。則任取甲、乙兩臺機床的產品各1件，其中至少有1件正品的概率為

　　　 解法二：運用對立事件的概率公式，所求的概率為

43．(天津卷)某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且各次射擊的結果互不影響。

(1)求射手在3次射擊中，至少有兩次連續擊中目標的概率(用數字作答)；

(2)求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率(用數字作答)；

(3)設隨機變量表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數，求的分布列．

本小題考查互斥事件、相互獨立事件的概率、離散型隨機變量的分布列等基礎知識，及分析和解決實際問題的能力.滿分12分

解：(Ⅰ)記“射手射擊1次，擊中目標”為事件，則在3次射擊中至少有兩次連續擊中目標的概率

(Ⅱ)射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率

(Ⅲ)由題設，“”的概率為

(且)

所以，的分布列為：

	3	4	…	k	…
P			…		…

42．(四川卷)某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為；在實驗考核中合格的概率分別為，所有考核是否合格相互之間沒有影響

(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

(Ⅱ)求這三人該課程考核都合格的概率。(結果保留三位小數)

本小題主要考察相互獨立事件、互斥事件、對立事件等概率的計算方法，考察應用概率知識解決實際問題的能力。

解：記“甲理論考核合格”為事件；“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；記為的對立事件，；記“甲實驗考核合格”為事件；“乙實驗考核合格”為事件；“丙實驗考核合格”為事件；

(Ⅰ)記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，記為的對立事件

解法1：

解法2：

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為

(Ⅱ)記“三人該課程考核都合格” 為事件

　　 所以，這三人該課程考核都合格的概率為

41．(陜西卷)甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是,　 , .現3人各投籃1次,求:

(Ⅰ)3人都投進的概率;

(Ⅱ)3人中恰有2人投進的概率.

解: (Ⅰ)記"甲投進"為事件A₁ ， "乙投進"為事件A₂ ， "丙投進"為事件A₃，

則 P(A₁)= ， P(A₂)= ， P(A₃)= ，

∴ P(A₁A₂A₃)=P(A₁) ·P(A₂) ·P(A₃) = × ×=

　∴3人都投進的概率為

(Ⅱ) 設“3人中恰有2人投進"為事件B

P(B)=P(A₂A₃)+P(A₁A₃)+P(A₁A₂)

　 =P()·P(A₂)·P(A₃)+P(A₁)·P()·P(A₃)+P(A₁)·P(A₂)·P()

　 =(1－)× × + ×(1－)× + × ×(1－) =

　∴3人中恰有2人投進的概率為

40．(陜西卷)甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是, , .

(Ⅰ)現3人各投籃1次,求3人都沒有投進的概率;

(Ⅱ)用ξ表示乙投籃3次的進球數,求隨機變量ξ的概率分布及數學期望Eξ.

解: (Ⅰ)記"甲投籃1次投進"為事件A₁ ， "乙投籃1次投進"為事件A₂ ， "丙投籃1次投進"為事件A₃， "3人都沒有投進"為事件A ． 則 P(A₁)= ， P(A₂)= ， P(A₃)= ，

∴ P(A) = P(..)=P()·P()·P()

　= [1－P(A₁)] ·[1－P (A₂)] ·[1－P (A₃)]=(1－)(1－)(1－)=

∴3人都沒有投進的概率為 ．

(Ⅱ)解法一: 隨機變量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B(3， )，

P(ξ=k)=C₃^k()^k()^3－k　 (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× = ．

解法二: ξ的概率分布為:　

Eξ=0×+1×+2×+3×= 　 ．

39．(山東卷)盒中裝著標有數字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3張卡片上的數字互不相同的概率.

解：(I)“抽出的3張卡片上最大的數字是4”的事件記為A，由題意

(II)“抽出的3張中有2張卡片上的數字是3”的事件記為B，則

(III)“抽出的3張卡片上的數字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個數字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對立事件，因為　　

所以　　　 .

38．(山東卷)袋中裝著標有數學1，2，3，4，5的小球各2個，從袋中任取3個小球，按3個小球上最大數字的9倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數字，求： 　(1)取出的3個小球上的數字互不相同的概率；

(2)隨機變量的概率分布和數學期望；

(3)計分介于20分到40分之間的概率.

解：(I)解法一：“一次取出的3個小球上的數字互不相同”的事件記為，

則

解法二：“一次取出的3個小球上的數字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個小球上有兩個數字相同”的事件記為，則事件和事件是互斥事件，因為，所以.

(II)由題意有可能的取值為：2，3，4，5.

所以隨機變量的概率分布為

	2	3	4	5

因此的數學期望為

(Ⅲ)“一次取球所得計分介于20分到40分之間”的事件記為，則

37．(全國II)某批產品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意出取2件產品進行檢驗。設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。

(I)求取6件產品中有1件產品是二等品的概率。

(II)若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕的概率。

解：設表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；

表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；

(1)依題意所求的概率為

(2)解法一：所求的概率為

解法二：所求的概率為

36．(全國II)某批產品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產品進行檢驗．設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．

(Ⅰ)用ξ表示抽檢的6件產品中二等品的件數，求ξ的分布列及ξ的數學期望；

(Ⅱ)若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品級用戶拒絕的概率．

解(1.)　

所以的分布列為

	0	1	2	3
P

的數學期望E()=

(2)P()=

本題主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,難度對于民族地區學生較大