2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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一、選擇題
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 5，∠A = α，那么BC的長是( )
(A) 5tanα
(B) 5cotα
(C) 5sinα
(D) 5cosα
答案：在直角三角形中，$\tan\alpha=\frac{BC}{AC}$，已知$AC = 5$，則$BC = AC\cdot\tan\alpha=5\tan\alpha$，答案是A。
2. 如圖，已知Rt△ABC，CD是斜邊AB邊上的高，那么下列結論中正確的是( )
(A) $CD = AB\cdot\tan B$
(B) $CD = AD\cdot\cot A$
(C) $CD = AC\cdot\sin B$
(D) $CD = BC\cdot\cos A$
答案：在Rt△ABC中，$\sin B=\frac{CD}{AC}$，所以$CD = AC\cdot\sin B$，答案是C。
3. 如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠D = 90°，如果對角線AC⊥AB，那么$\frac{CD}{AC}$的值是( )
(A) $\sin B$
(B) $\cos B$
(C) $\tan B$
(D) $\cot B$
答案：因為$AD\parallel BC$，$AC\perp AB$，$\angle D = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle D=\angle BAC$，$\angle ACB=\angle CAD$，所以$\triangle ABC\sim\triangle DCA$，則$\frac{CD}{AC}=\sin\angle CAD$，又因為$\angle CAD=\angle ACB$，在$Rt\triangle ABC$中$\sin\angle ACB=\sin B$，所以$\frac{CD}{AC}=\sin B$，答案是A。
二、填空題
4. 在平面直角坐標系的第一象限內有一點P，$OP = 10$，射線OP與x軸正半軸的夾角為α，如果$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，那么點P的坐標為
答案：因為$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$OP = 10$，設點$P$坐標為$(x,y)$，$y = OP\cdot\sin\alpha=10\times\frac{3}{5}=6$，$\cos\alpha=\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}=\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^{2}}=\frac{4}{5}$，$x = OP\cdot\cos\alpha=10\times\frac{4}{5}=8$，所以點$P$坐標為$(8,6)$。
5. 等腰三角形ABC中，$AB = AC$，$BD$、$CE$分別是邊$AC$、$AB$上的中線，且$BD\perp CE$，那么$\tan\angle ABC=$
答案：設$AB = AC = 2x$，因為$BD$、$CE$是中線，則$AE = EB = AD = DC = x$，設$ED$中點為$O$，連接$AO$并延長交$BC$于$F$，由等腰三角形三線合一可知$AF\perp BC$，且$EF\parallel BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，因為$BD\perp CE$，根據勾股定理和等腰三角形性質可得$BC = \sqrt{5}x$，$BF=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，$AF=\frac{3\sqrt{5}}{2}x$，$\tan\angle ABC=\frac{AF}{BF}=\sqrt{2}$。
6. 在△ABC中，$AB = AC$，$AD\perp BC$，垂足為點D，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$AB = 12$，$\sin\angle BAC=$
答案：因為$AB = AC$，$AD\perp BC$，$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$AB = 12$，則$BD = 2\sqrt{3}$，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{144 - 12}=2\sqrt{33}$，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{33}}{6}$，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\sin\angle BAC = 2\sin B\cos B=2\times\frac{\sqrt{33}}{6}\times\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{11}}{6}$。
7. 在Rt△ABC中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AC = 5$，$\tan C = 2$，$D$是$AC$上的動點，將△BCD沿BD翻折，如果點C落到△ABD內(不包括邊)，那么CD的取值范圍是
答案：因為$\tan C = 2$，設$AB = 2x$，$BC = x$，由勾股定理$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，$(2x)^{2}+x^{2}=25$，解得$x=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{5}$，$AB = 2\sqrt{5}$。當點$C$落在$AB$上時，設$CD = y$，則$AD = 5 - y$，$BC'=BC=\sqrt{5}$，$AC'=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$，在$Rt\triangle AC'D$中，根據勾股定理$(5 - y)^{2}=y^{2}-5 + 5$，解得$y = \frac{5}{2}$；當點$C$與點$A$重合時，$CD = 5$，所以$\frac{5}{3}\lt CD\lt\frac{5}{2}$。
8. 我們定義：等腰三角形中底邊與腰之比叫做頂角的正對(sad)，在△ABC中，$AB = AC$，頂角$A$的正對記作$sadA(sad)$，$A=\frac{底邊}{腰}=\frac{BC}{AB}$，已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$（$\alpha$為銳角），$sad\alpha=$
答案：設$\alpha$所在直角三角形對邊為$3k$，斜邊為$5k$，則鄰邊為$4k$，構造等腰三角形，作底邊上的高，可得$sad\alpha=\frac{6}{5}$。
9. 如圖，在△ABC中，$BD$是△ABC的中線，$BC = 2BD$，$AC = 6\sqrt{5}$，$\tan A=\frac{1}{2}$，那么$AB$的長為
答案：延長$BD$到$E$，使$DE = BD$，連接$AE$，可得$\triangle ADE\cong\triangle CDB$，$AE = BC$，因為$BC = 2BD$，所以$BE = BC = AE$，過$E$作$EF\perp AB$交$AB$延長線于$F$，設$EF = x$，因為$\tan A=\frac{1}{2}$，則$AF = 2x$，$AE=\sqrt{EF^{2}+AF^{2}}=\sqrt{5}x$，$BF=\sqrt{BE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{4x^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$，$AB = AF - BF = 2x-\sqrt{3}x$，在$\triangle AEF$中，$AE = BC = 12$，$x = \frac{12}{\sqrt{5}}$，$AB = 12$。
*10. 如圖，已知在△ABC中，高$AD$、$BE$相交于點$F$，$\tan C=\frac{3}{2}$，$BD = CE = 6$，那么$EF$的長為
答案：在$Rt\triangle BEC$中，$\tan C=\frac{BE}{CE}=\frac{3}{2}$，$CE = 6$，則$BE = 9$，在$Rt\triangle ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{CD}$，設$CD = x$，則$AD=\frac{3}{2}x$，因為$\triangle BDF\sim\triangle ADC$，$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{CD}$，可求出$DF = 4$，所以$EF = BE - BF = 9-(9 - 4)=4$。
