2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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9. 如圖，$\triangle ABC$和$\triangle AFG$為等腰直角三角形，$\angle BAC = \angle AGF = 90^{\circ}$，$AF$、$AG$分別交邊$BC$于點$D$、$E$，若$BD = 3$，$DE = 5$，則$AE =$_____.
答案：$2\sqrt{10}$
10. 如圖，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 4$，點$E$、$F$、$G$分別在邊$AB$、$BC$、$CD$上，且$EG\perp AF$，則$\frac{EG}{AF}=$_____.
答案：1
11. 如圖，點$E$在正方形$ABCD$的邊$AB$上，$AM\perp DE$于點$M$，$CN\perp DE$于點$N$，若$AM = 3$，$N$為$DM$中點，則$AE$長度應是_____.
答案：$\sqrt{10}$
12. 如圖，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 3$，點$E$是$AD$的中點，$CF\perp BE$于點$F$，求$FC$的長.
答案：$\frac{6}{5}$
13. 已知，在$\triangle ABC$中，$D$、$E$分別是邊$AC$、$AB$上的點，連接$BD$、$CE$、$DE$，$EC$和$BD$相交于點$O$，且$\angle ABC = \angle ADE$，若$\frac{AE}{AD}=\frac{9}{10}$，求$\frac{AC}{AB}$的值.
答案：$\frac{10}{9}$
14. 如圖，在$\triangle ABC$與$\triangle ADE$中，$\angle ABC = \angle ADE$，且$\angle BAD = \angle CAE$. (1)$\triangle ABC$與$\triangle ADE$相似嗎？如果相似，請說明理由；(2)連接$BD$，若$B$、$D$、$E$三點共線，記$AC$與$DE$的交點為$H$，若$AE = 2$，$BC = 5$，$\triangle AEH$的面積為$20$，試求$\triangle BCH$的面積.
答案：(1)相似，理由：因為$\angle BAD = \angle CAE$，所以$\angle BAD+\angle DAC = \angle CAE+\angle DAC$，即$\angle BAC = \angle DAE$，又因為$\angle ABC = \angle ADE$，所以$\triangle ABC\sim\triangle ADE$；(2)$125$
