2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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14. 如圖，在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$AB\cdot AD = AC\cdot AE$，$\angle BAD = \angle CAE$。
（1）求證：$\triangle ABC\sim\triangle AED$；
（2）若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ADE}=4:9$，$BC = 6$，求$DE$的長。
答案：（1）證明：
因為$AB\cdot AD = AC\cdot AE$，所以$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$。
又因為$\angle BAD = \angle CAE$，那么$\angle BAD + \angle DAC = \angle CAE + \angle DAC$，即$\angle BAC = \angle EAD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle AED$中，$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，$\angle BAC = \angle EAD$，所以$\triangle ABC\sim\triangle AED$（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）。
（2）解：
因為$\triangle ABC\sim\triangle AED$，且$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle ADE}=4:9$，根據相似三角形面積比等于相似比的平方，可知相似比為$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$，即$\frac{BC}{DE}=\frac{2}{3}$。
已知$BC = 6$，設$DE = x$，則$\frac{6}{x}=\frac{2}{3}$，解得$x = 9$，所以$DE = 9$。
15. 如圖，在平行四邊形$ABCD$中，點$E$在邊$BC$上，$CE = 2BE$，$AE$交$BD$于點$F$。
（1）求$\frac{BF}{DF}$的值；
（2）$\triangle BEF$與$\triangle ADF$的面積的比為 。
答案：（1）因為四邊形$ABCD$是平行四邊形，所以$AD\parallel BC$，$AD = BC$。
又因為$CE = 2BE$，所以$BC = BE + CE = BE + 2BE = 3BE$，則$AD = 3BE$。
因為$AD\parallel BC$，所以$\triangle BEF\sim\triangle DAF$，那么$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{AD}$，將$AD = 3BE$代入可得$\frac{BF}{DF}=\frac{BE}{3BE}=\frac{1}{3}$。
（2）由（1）知$\triangle BEF\sim\triangle DAF$，且相似比$\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$，根據相似三角形面積比等于相似比的平方，所以$S_{\triangle BEF}:S_{\triangle ADF}=(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$。
16. 如圖，$\triangle ABC$中，$DE\parallel BC$，$BE$與$CD$相交于點$O$，$AO$與$DE$、$BC$分別交于點$N$、$M$。
（1）已知點$M$是$BC$的中點，求證：$DN = EN$；
（2）已知$ON:OM = 2:5$，四邊形$BCED$的面積為$42$，求$\triangle ABC$的面積。
答案：（1）證明：
因為$DE\parallel BC$，所以$\triangle ADN\sim\triangle ABM$，$\triangle AEN\sim\triangle ACM$。
則$\frac{DN}{BM}=\frac{AN}{AM}$，$\frac{EN}{CM}=\frac{AN}{AM}$，所以$\frac{DN}{BM}=\frac{EN}{CM}$。
又因為點$M$是$BC$的中點，即$BM = CM$，所以$DN = EN$。
（2）因為$DE\parallel BC$，所以$\triangle DON\sim\triangle COM$，$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
由$\triangle DON\sim\triangle COM$可得$\frac{DE}{BC}=\frac{ON}{OM}=\frac{2}{5}$，設$\frac{DE}{BC}=k = \frac{2}{5}$。
根據相似三角形面積比等于相似比的平方，可知$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=k^2=(\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$，設$S_{\triangle ADE}=4x$，則$S_{\triangle ABC}=25x$。
那么四邊形$BCED$的面積為$S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ADE}=25x - 4x = 21x$。
已知四邊形$BCED$的面積為$42$，即$21x = 42$，解得$x = 2$，所以$S_{\triangle ABC}=25x = 50$。
