2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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11. 網格中每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點為格點，三角形和長方形的頂點都在格點上。(1) 在圖1的網格中按2:1畫出網格中三角形放大后的圖形①；(2) 在圖2的網格中按1:2畫出網格中長方形縮小后的圖形②。
答案：本題需根據圖形的放大與縮小的性質在網格中畫圖，由于無法直接以文字形式準確呈現圖形，畫圖步驟如下：(1) 對于圖1中三角形的放大，先確定原三角形各頂點的坐標（以網格為參考），然后將各頂點的橫、縱坐標都乘以2，得到放大后三角形①各頂點的坐標，最后在網格中連接這些頂點畫出圖形①。(2) 對于圖2中長方形的縮小，先確定原長方形各頂點的坐標（以網格為參考），然后將各頂點的橫、縱坐標都乘以$\frac{1}{2}$，得到縮小后長方形②各頂點的坐標，最后在網格中連接這些頂點畫出圖形②。
12. 如圖，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'相似，AB = 6，∠B = ∠C = 60°，A'B' = 4，B'C' = 12，C'D' = 8，∠A' = 150°。(1) 求BC、CD的長度；(2) 求∠D、∠D'的大小。
答案：(1) 因為四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'相似，則$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}$。已知AB = 6，A'B' = 4，B'C' = 12，C'D' = 8，所以$\frac{6}{4}=\frac{BC}{12}=\frac{CD}{8}$。由$\frac{BC}{12}=\frac{6}{4}$，可得BC = 18；由$\frac{CD}{8}=\frac{6}{4}$，可得CD = 12。(2) 在四邊形ABCD中，∠A+∠B + ∠C+∠D=360°，已知∠B = ∠C = 60°，由相似多邊形對應角相等，∠A = ∠A' = 150°，則∠D = 360° - 150° - 60° - 60° = 90°，因為四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'相似，所以∠D' = ∠D = 90°。
13. 設四邊形ABCD與四邊形A?B?C?D?是相似的圖形，且A與A?、B與B?、C與C?是對應點，已知AB = 12，BC = 18，CD = 18，AD = 9，A?B? = 8，求四邊形A?B?C?D?的周長。
答案：因為四邊形ABCD與四邊形A?B?C?D?相似，則相似比$k = \frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。所以$\frac{B_{1}C_{1}}{BC}=\frac{C_{1}D_{1}}{CD}=\frac{A_{1}D_{1}}{AD}=\frac{2}{3}$。已知BC = 18，CD = 18，AD = 9，則B?C? = 18×$\frac{2}{3}$=12，C?D? = 18×$\frac{2}{3}$=12，A?D? = 9×$\frac{2}{3}$=6。所以四邊形A?B?C?D?的周長為A?B? + B?C? + C?D? + A?D? = 8 + 12 + 12 + 6 = 38。
14. 如圖，把一個矩形ABCD劃分成三個全等的小矩形。(1) 若原矩形ABCD的長AB = 6，寬BC = 4，問：每個小矩形與原矩形相似嗎？請說明理由；(2) 若原矩形的長AB = a，寬BC = b，且每個小矩形與原矩形相似，求矩形長a與寬b應滿足的關系式。
答案：(1) 原矩形ABCD的長AB = 6，寬BC = 4，劃分成三個全等的小矩形，則小矩形的長為4，寬為$\frac{6}{3}=2$。原矩形長與寬的比為$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，小矩形長與寬的比為$\frac{4}{2}=2$，因為$\frac{3}{2}\neq2$，所以每個小矩形與原矩形不相似。(2) 原矩形長AB = a，寬BC = b，劃分成三個全等的小矩形，則小矩形的長為b，寬為$\frac{a}{3}$。因為每個小矩形與原矩形相似，所以$\frac{a}{b}=\frac{b}{\frac{a}{3}}$，即$b^{2}=\frac{1}{3}a^{2}$，整理可得$a = \sqrt{3}b$（a、b均大于0）。
