2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
注：當前書本只展示部分頁碼答案，查看完整答案請下載作業精靈APP。練習冊2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期答案主要是用來給同學們做完題方便對答案用的，請勿直接抄襲。
一、選擇題
1. 在Rt△ABC中，各邊的長度都擴大4倍，那么銳角B的正弦值（ ）
(A) 擴大4倍 (B) 擴大2倍 (C) 保持不變 (D) 縮小4倍
答案：根據銳角三角函數的定義，正弦值是角的對邊與斜邊的比值。在直角三角形中，各邊長度同時擴大相同倍數，其對應邊的比值不變，所以銳角B的正弦值保持不變，答案選C。
2. 在△ABC中，∠C = 90°，BC = 2，sinA=\frac{2}{3}，則邊AC的長是（ ）
(A) \sqrt{5} (B) 3 (C) \frac{4}{3} (D) \sqrt{13}
答案：因為sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}，BC = 2，所以AB = 3。根據勾股定理AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}，答案選A。
3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 4，AC = 3，那么∠A的三角比值為\frac{3}{5}的是（ ）
(A) sinA (B) cosA (C) tanA (D) cotA
答案：在Rt△ABC中，AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5。sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}，cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}，tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}，cotA=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}，答案選B。
二、填空題
4. 在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c。
(1) 若已知a、c，則sinA = ______，cosA = ______；
(2) 若已知c、sinB，則b = ______；
(3) 若已知a、cosB，則c = ______。
答案：(1) 根據正弦和余弦的定義，sinA=\frac{a}{c}，cosA=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{c^{2}-a^{2}}}{c}；(2) 因為sinB=\frac{b}{c}，所以b = c\cdot sinB；(3) 因為cosB=\frac{a}{c}，所以c=\frac{a}{cosB}。
5. 點A(1, y)在第四象限，且OA與x軸的夾角為α，若cosα=\frac{1}{2}，則A點的坐標是______。
答案：因為點A(1, y)在第四象限，cosα=\frac{1}{OA}=\frac{1}{2}，所以OA = 2。根據勾股定理y=-\sqrt{OA^{2}-1^{2}}=-\sqrt{2^{2}-1^{2}}=-\sqrt{3}，則A點坐標是(1,-\sqrt{3})。
6. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 4，sinA=\frac{2}{3}，那么AB的長是______。
答案：因為sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{3}，BC = 4，所以AB = 6。
7. 在Rt△ABC中，∠A = 90°，AC = 3，BC = 4，則sinC = ______，cosC = ______。
答案：AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}。sinC=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{4}，cosC=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}。
8. 如圖，已知點O是△ABC的重心，BO⊥CO，sin∠CBO=\frac{3}{5}，如果BO = 8，那么點A、O之間的距離為______。
答案：延長AO交BC于點D，因為點O是重心，所以AD是中線，且AO = 2OD。在Rt△BOC中，sin∠CBO=\frac{CO}{BC}=\frac{3}{5}，BO = 8，根據勾股定理CO = 6，BC = 10，所以OD=\frac{1}{2}BC = 5，則AO = 10。
9. 在△ABC中，∠C = 90°，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE垂直平分AB，連接BE，如果tanA=\frac{1}{3}，那么cos∠CBE = ______。
答案：設AC = 3x，BC = x，則AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{10}x。因為DE垂直平分AB，所以AE = BE。設AE = BE = y，則CE = 3x - y，在Rt△BCE中，根據勾股定理可得y^{2}=(3x - y)^{2}+x^{2}，解得y=\frac{5}{3}x，CE=\frac{4}{3}x，BE=\frac{5}{3}x，所以cos∠CBE=\frac{BC}{BE}=\frac{x}{\frac{5}{3}x}=\frac{3}{5}。
10. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，sinB=\frac{3}{5}，點E、D分別在邊AB、BC上，\frac{BE}{CD}=\frac{4}{3}，如果∠CAD = ∠B，那么BE的長是______。
答案：在Rt△ABC中，AC = AB\cdot sinB = 3，BC = 4。因為∠CAD = ∠B，所以tan∠CAD = tanB=\frac{3}{4}。設CD = 3x，則BE = 4x，BD = 4 - 3x，AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{9 + 9x^{2}}。又因為cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}，在△ABD中，根據余弦定理列出方程，解得x = 1，所以BE = 4。
三、解答題
11. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，sinA+sinB=\frac{7}{5}，a + b = 28，求c的值。
答案：因為sinA=\frac{a}{c}，sinB=\frac{b}{c}，所以\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{7}{5}，即\frac{a + b}{c}=\frac{7}{5}。又因為a + b = 28，所以c = 20。
