Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=-$\frac{2\sqrt{3}}{x}$圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．
（1）當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸也相切于K點(diǎn)時(shí)，如圖1，試判斷四邊形OAPK的形狀，并說明理由；
（2）當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交于B、C兩點(diǎn)時(shí)，且四邊形ACBP為菱形，如圖2，求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用切線的性質(zhì)得出四邊形OAPK是矩形，再判斷出PA=PK即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用菱形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得出△PBC是等邊三角形，即可求出m的值，進(jìn)而得出A的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出OC即可得出C的坐標(biāo)，最后得出B的坐標(biāo)．

解答 解：（1）四邊形OAPK是正方形，
理由：∵P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．
∴∠OAP=90°，
∵⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸也相切于K點(diǎn)，
∴∠OKP=90°，
∵∠AOK=90°，
∴∠OAP=∠AOK=∠OKP=90°，
∴四邊形OAPK是矩形，
∵⊙P和x，y軸都相切，
∴AP=KP，
∴矩形OAPK是正方形．
（2）如圖，設(shè)P（m，-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$），
連接PC，過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，
∴PB=PC，
∵四邊形ACBP為菱形，
∴PA=PB=BC=|m|=-m，
∴PB=PC=BC=-m，
∴△PBC是等邊三角形，
在Rt△PBD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=-$\frac{1}{2}$m，
∴PD=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∵P（m，-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$），
∴-$\frac{2\sqrt{3}}{m}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴m=2（舍）或m=-2，
∴P（-2，$\sqrt{3}$），
∴AP=2，A（0，$\sqrt{3}$）．
∴OA=$\sqrt{3}$，
在Rt△AOC中，AC=AP=2，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=1，
∴C（-1，0），OB=BC+OC=AP+OC=3，
∴B（-3，0），
即：A（0，$\sqrt{3}$）．B（-3，0），C（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了正方形，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，是一道比較簡(jiǎn)單的涉及知識(shí)點(diǎn)比較多的綜合題．