Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，4），點E（2，0）在OA上，點C的坐標為（0，m）（m≠4），點C關于AB的對稱點是點D，連結BD，CD，CE，DE
（1）當點C在線段OB上時，求證：△BCD是等腰直角三角形；
（2）當m＞0時，若△CDE是以CD為直角邊的直角三角形，求$\frac{OC}{OE}$的值．

Answer 1

分析 （1）由A（4，0），B（0，4），得出OB=OA=4，∠OBA=45°，因為點D與點C關于直線AB對稱，即可證得結論；
（2）分兩種情況分別討論，根據等腰直角三角形的性質求得m的值，進而就可得出結論．

解答 （1）證明：如圖，

∵A（4，0）B（0，4），
∴OB=OA=4，∠OBA=45°，
∵點D與點C關于直線AB對稱，令交點為M，
∴DM=CM，CD⊥AB于M，
∴∠BCM=45°，BC=BD，∠BDC=45°
∴△BCD為等腰直角三角形；
（2）解：∵E（2，0），
∴OE=2，
（Ⅰ）當∠DCE=90°時，如圖1，

∵∠BCD=45°，
∴∠OCE=45°，△OCE為等腰直角三角形，
∴∠CEO=45°   
∴OC=OE=2，
∴$\frac{OC}{OE}$=1；
（Ⅱ）當∠CDE=90°時，如圖2，

作DF⊥x軸于點F，
∵∠CMB=∠CDE=90°，
∴AB∥DE 
∴∠DEF=∠BAO=45°，△DFE為等腰直角三角形
∴EF=DF=OB=4，
∴OF=DB=CB=2，
∴m=OC=OB+BC=6，
∵OE=2
∴$\frac{OC}{OE}$=$\frac{6}{2}$=3；
∴$\frac{OC}{OE}$的值為1或3．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形的性質，對稱的性質，解本題的關鍵是求出m的值，是一道中等難度的題目．