Question

17．如圖，Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中點，E、F分別是AB、AC上的點，DE⊥DF．求證：EF²=BE²+CF²．（提示：要延長ED或FD，還要連接幾條線段）

Answer 1

分析 延長FD到點G，使DG=DF，連接BG、EG，易證EF=EG，△CDF≌△BDG，可得BG=CF，∠DBG=∠C，即可求得∠ABG=90°，即可判定△BEG是直角三角形，根據勾股定理可得BE²+BG²=EG²，即可解題．

解答 證明：延長FD到點G，使DG=DF，連接BG、EG，如圖所示：
∵∠EDF=90°，DF=DG，
∴DE垂直平分FG，
∴EF=EG，
∵D是BC中點，
∴CD=BD，
在△CDF和△BDG中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DG}&{\;}\\{∠CDF=∠BDG}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG=CF，∠DBG=∠C，
∵∠A=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=90°，
∴△BEG是直角三角形，
∴BE²+BG²=EG²，
∴EF²=BE²+CF²．

點評 本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對應邊相等的性質以及直角三角形中勾股定理的運用，本題中求證△CDF≌△BDG是解題的關鍵．