Question

1．已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（-3，5），B（1，$\frac{7}{3}$）兩點(diǎn)．
（1）求此一次函數(shù)的解析式．
（2）在x軸上找一點(diǎn)P使PA=PB，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在x軸上求一點(diǎn)Q，使三角形QAB的周長(zhǎng)最小，并求出該三角形的最小周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，將點(diǎn)（-3，5）和（1，$\frac{7}{3}$）代入后聯(lián)立求解可求出a和b的值，即得出了函數(shù)解析式；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出PA，PB，用PA=PB建立方程求解即可；
（3）先找出點(diǎn)Q的位置，進(jìn)而最小周長(zhǎng)為AB'+AB．

解答 解：（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（-3，5），B（1，$\frac{7}{3}$）兩點(diǎn)．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=5}\\{k+b=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+3．
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，0），
∵A（-3，5），B（1，$\frac{7}{3}$），
∴PA=$\sqrt{（m+3）^{2}+25}$，PB=$\sqrt{（m-1）^{2}+\frac{49}{9}}$，
∵PA=PB，
∴$\sqrt{（m+3）^{2}+25}$=$\sqrt{（m-1）^{2}+\frac{49}{9}}$，
∴m=-$\frac{31}{9}$，
∴P（-$\frac{31}{9}$，0）；
（3）如圖，

作出點(diǎn)B（1，$\frac{7}{3}$）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'（1，-$\frac{7}{3}$），
連接AB'與x軸的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，
∵A（-3，5），
∴AB'=$\sqrt{16+（5+\frac{7}{3}）^{2}}$=2$\sqrt{157}$
∵A（-3，5），B（1，$\frac{7}{3}$）
∴AB=$\sqrt{16+\frac{64}{9}}$=4$\sqrt{13}$，
∴該三角形的最小周長(zhǎng)=AQ+BQ+AB=AB'+AB=2$\sqrt{157}$+4$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平面坐標(biāo)系內(nèi)，兩點(diǎn)間的距離公式，最小值的確定方法，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決幾何圖形問(wèn)題，難點(diǎn)是最小值得確定．