Question

11．如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形．
（1）如圖1，連接AG、CE，試判斷AG和CE的關系并證明．
（2）將正方形BEFG繞點B順時針旋轉β角，（0＜β＜180），如圖2，連接AG，CE相交于點M，連接BM，當角β發生變化時，∠EMB的度數是否發生變化，若不變化，求出∠EMB的度數；若發生變化，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，過點A作AN⊥MB交MB的延長線于點N，請直接寫出線段CM和BN的數量關系CM=$\sqrt{2}$BN．

Answer 1

分析 （1）AG=EC，AG⊥EC，理由為：由正方形BEFG與正方形ABCD，利用正方形的性質得到兩對邊相等，一對直角相等，利用SAS得出三角形ABG與三角形CBE全等，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得證；
（2）∠EMB的度數為45°，理由為：過B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出三角形ABG與三角形BEC全等，由全等三角形的面積相等得到兩三角形面積相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角兩邊距離相等的點在角的平分線上得到BM為角平分線，再由∠BAG=∠BCE，及一對對頂角相等，得到∠AMC為直角，即∠AME為直角，利用角平分線定義即可得證；
（3）CM=$\sqrt{2}$BN，在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到BQ=$\sqrt{2}$BN，接下來證明BQ=CM，即要證明三角形ABQ與三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由三角形ANM為等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性質得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根據全等三角形的對應邊相等即可得證．

解答 解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由為：
如圖1，

∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠ABC=∠EBC=90°}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延長CE交AG于點M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；

（2）∠EMB的度數不發生變化，∠EMB的度數為45°，
理由為：
如圖2，

過B作BP⊥EC，BH⊥AM，
在△ABG和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABG=∠CBE}\\{BG=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴S_△ABG=S_△EBC，AG=EC，
∴$\frac{1}{2}$EC•BP=$\frac{1}{2}$AG•BH，
∴BP=BH，
∴MB為∠EMG的平分線，
∵∠AMC=∠ABC=90°，
∴∠EMB=$\frac{1}{2}$∠EMG=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（3）CM=$\sqrt{2}$BN，
理由為：
如圖3，

在NA上截取NQ=NB，連接BQ，
∴△BNQ為等腰直角三角形，即BQ=$\sqrt{2}$BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN為等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{AQ=BM}\\{∠BAN=∠MBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
則CM=$\sqrt{2}$BN．
故答案為：CM=$\sqrt{2}$BN．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線的判定，熟練掌握正方形的性質是解本題的關鍵，是一道中等難度的中考常考題．