Question

如圖所示，在半徑為R的⊙O中，作直徑AB、CD互相垂直，并把圓分成四個面積相等的扇形，在⊙O左上角的扇形OAC內再作⊙O₁，使其與半徑OA、OC和弧AC都相切；依此法繼續作⊙O₂、⊙O₃…，請問所作的⊙O₁的半徑是

 

；那么⊙O_n的半徑又是

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：規律型

分析：作O₁M⊥OA于M，O₁N⊥OC于N，作O₂P⊥O₁N于P，O₂Q⊥O₁M于Q，如圖，設⊙O₁的半徑為R₁，⊙O_，2的半徑為R₂，⊙O_n的半徑為R_n，根據⊙O₁與半徑OA、OC和弧AC都相切得到O₁M=O₁N=O₁F=R₁，點O、O₁和E共線，則四邊形OMO₁N為正方形，利用OE=OO₁+O₁E，OO₁=

2

O₁M得到

2

R₁+R₁=R，解得R₁=（

2

-1）R，同理可得R₂=（

2

-1）R₁，所以R₂=（

2

-1）²R，按此規律即可得到R_n=（

2

-1）ⁿR．

解答：解：作O₁M⊥OA于M，O₁N⊥OC于N，作O₂P⊥O₁N于P，O₂Q⊥O₁M于Q，如圖，設⊙O₁的半徑為R₁，⊙O_，2的半徑為R₂，⊙O_n的半徑為R_n，
∵⊙O₁與半徑OA、OC和弧AC都相切，
∴O₁M=O₁N=O₁F=R₁，點O、O₁和E共線，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC=90°，
∴四邊形OMO₁N為正方形，
∵OE=OO₁+O₁E，
而OO₁=

2

O₁M，
∴

2

R₁+R₁=R，
∴R₁=（

2

-1）R，
同理可得O₂E=O₁O₂+O₂E，
∴

2

R₂+R₂=R₁，
∴R₂=（

2

-1）R₁，
∴R₂=（

2

-1）²R，
…，
∴R_n=（

2

-1）ⁿR．
故答案為（

2

-1）R，（

2

-1）ⁿR．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線性質、兩圓相切的性質和等腰直角三角形的性質．