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3.從編號分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的11個球中，取出5個小球，使這5個小球的編號之和為奇數，其方法總數為(　 )

(A)200　 (B)230　 (C)236　 (D)206

2.男女學生共有8 人，從男生中選取2人，且從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有(　 )

2人或3人　 (B)3人或4人　 (C)3人　 (D)4人

1.從{1、2、3、4、…、20}中任選3個不同的數，使這三個數成等差數列，這樣的等差數列最多有(　 )

90個　 (B)180個　 (C)200個　 (D)120個

例1 由數字1、2、3、4、5、6、7組成無重復數字的七位數

(1)求三個偶數必相鄰的七位數的個數；

(2)求三個偶數互不相鄰的七位數的個數

解 (1)：因為三個偶數2、4、6必須相鄰，所以要得到一個符合條件的七位數可以分為如下三步：

第一步將1、3、5、7四個數字排好有種不同的排法；

第二步將2、4、6三個數字“捆綁”在一起有 種不同的“捆綁”方法;

第三步將第二步“捆綁”的這個整體“插入”到第一步所排的四個不同數字的五個“間隙”(包括兩端的兩個位置)中的其中一個位置上,有種不同的“插入”方法

根據乘法原理共有＝720種不同的排法所以共有720個符合條件的七位數

解(2)：因為三個偶數2、4、6 互不相鄰，所以要得到符合條件的七位數可以分為如下兩步：

第一步將1、3、5、7四個數字排好，有 種不同的排法；

第二步將2、4、6分別“插入”到第一步排的四個數字的五個“間隙”(包括兩端的兩個位置)中的三個位置上，有 種“插入”方法

根據乘法原理共有＝1440種不同的排法所以共有1440個符合條件的七位數

例2　 將A、B、C、D、E、F分成三組，共有多少種不同的分法？

解：要將A、B、C、D、E、F分成三組，可以分為三類辦法：

(1－1－4)分法、(1－2－3)分法、(2－2－2)分法

下面分別計算每一類的方法數：

第一類(1－1－4)分法，這是一類整體不等分局部等分的問題，可以采用兩種解法

解法一：從六個元素中取出四個不同的元素構成一個組，余下的兩個元素各作為一個組，有種不同的分法

解法二：從六個元素中先取出一個元素作為一個組有 種選法，再從余下的五個元素中取出一個元素作為一個組有 種選法，最后余下的四個元素自然作為一個組，由于第一步和第二步各選取出一個元素分別作為一個組有先后之分，產生了重復計算，應除以

所以共有 ＝15種不同的分組方法

　　 第二類(1－2－3)分法，這是一類整體和局部均不等分的問題，首先從六個不同的元素中選取出一個元素作為一個組有 種不同的選法，再從余下的五個不同元素中選取出兩個不同的元素作為一個組有 種不同的選法，余下的最后三個元素自然作為一個組，根據乘法原理共有＝60種不同的分組方法

　　 第三類(2－2－2)分法，這是一類整體“等分”的問題，首先從六個不同元素中選取出兩個不同元素作為一個組有 種不同的取法，再從余下的四個元素中取出兩個不同的元素作為一個組有種不同的取法，最后余下的兩個元素自然作為一個組由于三組等分存在先后選取的不同的順序，所以應除以 ，因此共有 ＝15種不同的分組方法

　　 根據加法原理，將A、B、C、D、E、F六個元素分成三組共有：15+60+15＝90種不同的方法

例3 一排九個坐位有六個人坐，若每個空位兩邊都坐有人，共有多少種不同的坐法？

解：九個坐位六個人坐，空了三個坐位，每個空位兩邊都有人，等價于三個空位互不相鄰，可以看做將六個人先依次坐好有種不同的坐法，再將三個空坐位“插入”到坐好的六個人之間的五個“間隙”(不包括兩端)之中的三個不同的位置上有種不同的“插入”方法

根據乘法原理共有 ＝7200種不同的坐法

解排列組合問題，首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成，對于元素之間的關系，還要考慮“是有序”的還是“無序的”，也就是會正確使用分類計數原理和分步計數原理、排列定義和組合定義，其次，對一些復雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：

特殊優先法對于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優先法.例如：用0、1、2、3、4這5個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有________個.(答案：30個)

科學分類法對于較復雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對各種不同情況，進行科學分類，以便有條不紊地進行解答，避免重復或遺漏現象發生例如：從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任取5臺，其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺，則不同的選取法有_______種.(答案：350)

插空法解決一些不相鄰問題時，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數是______.(答案:3600)

捆綁法相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當成“一個”元素進行排列，然后再局部排列例如：6名同學坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是________種.(答案：240)

排除法從總體中排除不符合條件的方法數，這是一種間接解題的方法.

b、排列組合應用題往往和代數、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識聯系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應用題時，要注意使用相關知識對答案進行取舍.例如：從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經過坐標原點的直線有_________條.(答案：30)

12．組合數的性質2：＝+　

10．組合數公式：

或

11 組合數的性質1：．規定：；

9．組合數的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從 個不同元素中取出個元素的組合數．用符號表示．

7．排列數的另一個計算公式：=

8組合的概念：一般地，從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合

5．排列數公式：()

6階乘：表示正整數1到的連乘積，叫做的階乘規定．