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∴函數f′(x)=3x²+2mx+(m+6)的圖象與x軸相交,即4m²-4×3×(m+6)>0.

7.★已知函數f(x)=x³+mx²+(m+6)x+1既存在極大值又存在極小值,則實數m的取值范圍是(  )

A.(-1,2)             B.(-∞,-3)∪(6,+∞)

C.(-3,6)             D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

分析 本題考查導數與極值的關系.

解 f′(x)=3x²+2mx+(m+6).

∵函數f(x)既存在極大值又存在極小值,

f_n+4(x)=f(x),可知該函數的周期為4.

∴f₂₀₀₆(x)=f₂(x)=-cosx.

答案 D

6.★設f₀(x)=cosx,f₁(x)=f₀′(x),f₂(x)=f₁′(x),…,f_n+1(x)=fn′(x),n∈N,則f₂₀₀₆(x)等于(    )

A.sinx         B.cosx         C.-sinx         D.-cosx

分析 本題考查導數的運算及函數的周期性.

解 f₁(x)=(cosx)′=-sinx,

f₂(x)=(-sinx)′=-cosx,

f₃(x)=(-cosx)′=sinx,

f₄(x)=(sinx)′=cosx,

f₄(x)=f₀(x),f₅(x)=f₁(x),…,

∴y′|_x=1=2,切線的方程為y-2=2(x-1),與x軸的交點(0,0)所圍成的三角形的面積S=(3-0)×6=9.

答案 C

5.★曲線y=x²+1在點(1,2)處的切線與x軸、直線x=3所圍成的三角形的面積為(    )

A.13           B.14           C.9           D.10

分析 本題考查導數的相關知識及三角形的面積公式.

解 ∵y=x²+1,∴y′=2x.

∴y₁′|_x=1=2,y₂′|_x=1=3,y₃′|_x=1=2cos1.

∴k₃<k₁<k₂.

答案 D

4.已知曲線y₁=x²,y₂=x³,y₃=2sinx,這三條曲線與x=1的交點分別為A、B、C,又設k₁、k₂、k₃分別為經過A、B、C且分別與這三條曲線相切的直線的斜率,則(    )

A.k₁<k₂<k₃                    B.k₃<k₂<k₁

C.k₁<k₃<k₂                    D.k₃<k₁<k₂

分析 本題主要考查導數的幾何意義及導數的運算法則.

解 ∵y₁′=2x,y₂′=3x²,y₃′=2cosx,

得x=±.

所以符合條件的切線有2條.

答案 B

3.已知f(x)=x³的切線的斜率等于1,則這樣的切線有(   )

A.1條                      B.2條

C.多于2條                 D.不能確定

分析 本題主要考查導數的幾何意義的應用.切線的條數是由切點的個數確定的.

解 f′(x)=3x²,由f′(x)=3x²=1,