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19.★(本小題滿分10分)若公共汽車門的高度是按照保證成年男子與車門頂部碰頭的概率在1%以下設計的,如果某地成年男子的身高ξ~N(175,62)(單位：cm),則該地公共汽車門的高度應設計為多高？(下列數據供計算時使用:Φ(2.33)≈0.99,Φ(2.06)≈0.98)

分析 本題考查正態分布在現實生活中的應用.它是一道已知正態分布函數的值域,而求其自變量范圍的題目.解題的關鍵是找出正確的函數表達式,運用標準正態分布表,求變量的范圍.

解 設該地公共汽車門的高度應設計為x cm,

則根據題意可知P(ξ≥x)＜1%.        3分

Eξ=2×+3×+4×+5×=.           10分

8分

P(ξ=5)=()³()²=.         7分

則ξ的分布列為

ξ

2

3

4

5

P

P(ξ=4)=()²()²=;

P(ξ=3)=? ()²=;

(2)P(ξ=2)=()²=;