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1、已知集合P={x|x²–9<0}，Q={x|x²–1>0}，則　　　 。

3．如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在邊BC上，△是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

　(1)求證點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)；

　(2)求點(diǎn)C到平面的距離；

　(3)求二面角的大小．

2．如圖，直四棱柱的側(cè)棱的長(zhǎng)是a，底面ABCD是邊長(zhǎng)AB=2a，BD=a的矩形，E為的中點(diǎn)。　　　　　　　

(.1)求二面角E-BD-C的大小;

(2)求三棱錐的體積.　　　

1．正三棱錐P－ABC的底面邊長(zhǎng)為a，E、F分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，且E、A、F三點(diǎn)的截面垂直于側(cè)面PBC．

(1) 求棱錐的全面積；(2) 側(cè)面與底面所成的角的余弦值．

4.在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BC、A₁D₁的中點(diǎn).

　　　 (1)求證：四邊形B₁EDF是菱形；

(2)求直線A₁C與DB的距離；

(3)求直線AD與平面B₁EDF所成的角.

(4)求平面B₁D₁C與A₁DB的距離

5多　面　體

例1．斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為b，

側(cè)棱AA₁和AB、AC都成45°的角，求棱柱的側(cè)面積和體積.

例2．三棱錐各側(cè)面與底面均成45°角，底面三角形三內(nèi)角A、B、C滿足2B＝A+C，最大邊與最小邊是方程3x²－27x+32=0的兩根．

(1)求棱錐的高；(2) 求棱錐的側(cè)面積．

例3．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為4，M是BC的中點(diǎn)，N是CC₁上一點(diǎn)，滿足MN⊥AB₁

(1)試求三棱錐的體積；

(2)求點(diǎn)C₁到平面AMN的距離。

例4．如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)面是菱形且垂直于底面，∠＝60°，M是的中點(diǎn)．

(1)求證：BM⊥AC；

(2)求二面角的正切值；

(3)求三棱錐的體積．

習(xí)題

3.如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的九條棱均相等，D是BC上一點(diǎn)，AD⊥C₁D.

(1).求證：截面ABC₁⊥側(cè)面BCC₁B₁.

(2)求二面角C-AC₁-D的大小.

(3)若AB=2，求直線A₁B與截面ADC₁的距離.

.

2.如圖，正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是1，D、E分別是C₁C和A₁B₁的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)E到平面ABD的距離：

(2)求二面角A-BD-C的正切值．

4.在三棱錐S-ABC中，已知SA=4，AB=AC，BC=3,∠SAB=∠SAC=45º,SA與底面ABC所成的角為30º.

(1)求證：SA⊥BC；

(2)求二面角S-BC-A的大小;

(3)求三棱錐S-ABC的體積．

答案：(3)9

4　距離

　 例1、如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為等腰直

角三角形，∠ACB=90⁰，AC=1，C點(diǎn)到AB₁的距離為

CE=，D為AB的中點(diǎn).

(1)求證：AB­₁⊥平面CED；

(2)求異面直線AB₁與CD之間的距離；

(3)求二面角B₁-AC-B的平面角.

解:(1)∵D是AB中點(diǎn)，△ABC為等腰直角三角形，

∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA　 ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁，

　∴AB₁⊥平面CDE；

(2)由CD⊥平面A₁B₁BA　 ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE　 ∴DE⊥AB_1,

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；

(3)連結(jié)B₁C，易證B₁C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B₁CB是二面角B₁-AC-B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B₁AC=60⁰

∴，　 ∴,

∴ 　, ∴.

例2、如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=

(1)　　　 求MN的長(zhǎng)；

(2)　　　 當(dāng)為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小；

(3)　　　 當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

例3. 如圖，平面a∩平面b＝MN，　　　　　　　　　　　

　　 二面角A－MN－B為60°,點(diǎn)A∈a，

　B∈b，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45°.

　　 AC＝1,

　　 (1) 求點(diǎn)A到平面b的距離；

　　 (2) 求二面角A－BC－M的大小．　　　

答案(1)； (2)arctan(提示：求出點(diǎn)A在平面 b 的射影到直線BC的距離為).

例4、已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁＝4cm，

　 它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90°,E是AB的

　 中點(diǎn)．

　 (1) 求證：CE和AB₁所在的異面直線的距離等于cm；　

　 (2) 求截面ACB₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的二面角的大小．

答案 (2) arccos.

練習(xí)：1.已知：如圖，△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一點(diǎn)，且PA=PB=PC=6cm．

(1)求點(diǎn)P到平面ABC的距離；

(2)求PA與平面ABC所成角的余弦．

3.如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，PD=a，PA=PC=a，

(1)求證：PD⊥平面ABCD；

(2)求異面直線PB與AC所成角的大小；

(3)求二面角A-PB-D的大小；

(4)在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，求球的最大半徑．

答案：(2)90°(3)60°(4)(2-√2)a/2

2..如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D,E分別為AA₁,B₁C₁的中點(diǎn).

(1)求證：平面AA₁E⊥平面BCD；

(2)求直線A₁B₁與平面BCD所成的角．

答案：(2)30°