Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}的各項均為正數，且b_n是

n

an

與

n

an+2

的等比中項，求b_n的前n項和為T_n；若對任意n∈N^*，都有T_n＞log_m2，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用公式S_n-S_n-1=a_n（n≥2），求通項公式即可；
（2）利用錯位相減法得Tn=

3

8

-

2n+3

8×3n

，對任意n∈N^*，都有T_n＞log_m2，等價于（T_n）_min＞log_m2，解不等式即得結論．

解答： 解：（Ⅰ）當n≥2時，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+2，
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，故

an+1

an

=3(n≥2)，
當n=1時，a₂=2S₁+2=2a₁+2=6，此時

a2

a1

=3，
故當n≥1時，

an+1

an

=3，則數列{a_n}是首項為2，公比為3的等比數列，
∴an=2×3n-1…（6分）
（Ⅱ）bn=

n an × n an+2

=

n 2×3n-1 × n 2×3n+1

=

n

2×3n

…（8分）
所以Tn=

1

2

(

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

)．
則2Tn=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

．①，則

2

3

Tn=

1

32

+

2

33

+

3

34

+…+

n

3n+1

．②
則①-②得：

4

3

Tn=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

n

3n+1

=

1

2

-

2n+3

2×3n+1

．
所以Tn=

3

8

-

2n+3

8×3n

，由于T_n單調遞增，則T_n的最小值為T1=

1

6

，
由logm2＜

1

6

，得

0＜m＜1 2＞m 1 6

或者

m＞1 2＜m 1 6

，解得0＜m＜1或者m＞64…（12分）

點評：本題考查利用公式法求數列通項公式及利用錯位相減法求數列的和，考查恒成立問題的等價劃歸思想的運用能力，屬難題．